Ecuaciones exponenciales

Funciones exponenciales y logaritmos: Funciones logarítmicas

Ecuaciones exponenciales

Practicamos cómo resolver ecuaciones con una forma similar a #\blue{a}+\log_{\green{b}} \left(x \right)=\purple{c}#. Ahora echaremos un vistazo a las ecuaciones de la forma #\blue{a}^x=\green{b}#.

\[\blue{a}^x=\green{b}\]

\[x=\log_{\blue{a}}\left(\green{b}\right)\]

Ejemplo

\[\begin{array}{rcl}\blue{2}^x&=&\green{3}\\x&=&\log_{\blue{2}}\left(\green{3}\right)\end{array}\]

Respuesta exacta
La expresión #\log_{\blue{2}}\left(\green{3}\right) = 1.58496250072 \ldots # tiene infinitos decimales, y como tal no puede escribirse como una fracción de enteros. En casos como estos, dejaremos el logaritmo en nuestra respuesta. Llamamos a esto la solución exacta de la ecuación.

En el ejemplo anterior hemos mostrado una ecuación muy sencilla. Sin embargo, las ecuaciones también pueden ser más difíciles, como puedes ver en los ejemplos a continuación.

Resuelve la ecuación para #x#:
\[
4^{x+2}=256
\]

Da tu respuesta en la forma #x=\ldots# y no uses ningún exponente en tu respuesta.

#x=2#

\(\begin{array}{rcl}
4^{x+2}&=&256\\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{la ecuación original}}\\
x+2&=&\log_{4}\left(256\right)\\
&&\phantom{xxx}\blue{a^x=b\text{ da }x=\log_a\left(b\right)}\\
x+2&=&4\\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{se continúa en el logaritmo}}\\
x&=&2\\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{se mueven los términos constantes a la derecha}}\\
\end{array}\)

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