Integración: Antiderivadas
Reglas de cálculo para antiderivadas
Al igual que con la diferenciación, podemos dar una regla de suma y una regla constante para encontrar antiderivadas.
Para funciones #\blue f# y #\purple g#:
\[\begin{array}{c}
\displaystyle \int \blue{f(x)}+\purple{g(x)} \; {\dd}x = \displaystyle \int \blue{f(x)}\;{\dd}x + \int \purple{g(x)}\;{\dd}x
\end{array}\]
Ejemplos
#\begin{array}{rcl}
\displaystyle \int \blue{2x} + \purple{4} \; {\dd}x &=& \displaystyle \int \blue{2x} \;{\dd}x + \int \purple{4} \;{\dd}x \\
&=& x^2 + 4x + \green {C}
\end{array}#
Para una función #\blue f# y una constante #\orange c#:
\[\begin{array}{c}
\displaystyle \int \orange c \cdot \blue{f(x)} \; {\dd}x = \orange c\cdot \displaystyle \int \blue{f(x)}\;{\dd}x
\end{array}\]
Ejemplo
#\begin{array}{rcl}
\displaystyle \int \orange{9} \cdot \blue{x^2} \; \dd x &=& \orange{9} \cdot\displaystyle \int \blue{x^2} \; \dd x \\
&=& 9 \cdot \frac{1}{3}x^3 +\green C \\ &=& 3x^3+\green C
\end{array}#
#\begin{array}{rcl}
\displaystyle \int 3\cdot x^7+3\cdot x^5 \dd x &=&\displaystyle \int 3 \cdot x^{7}\, \dd x + \int 3 \cdot x^5\, \dd x\\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{regla }\displaystyle \int f(x) + g(x) \, \dd = \int f(x) \, \dd x + \int g(x) \, \dd x}\\
&=&\displaystyle 3 \cdot \int x^{7}\, \dd x + 3 \cdot \int x^5 \, \dd x\\
&&\phantom{xxx}\displaystyle \blue{\text{aplica dos veces la regla }\int c\cdot f(x)\,\dd x = c \cdot \int f(x) \, \dd x}\\
&=&\displaystyle \frac{3}{7+1}\cdot x^{7+1}+\frac{3}{5+1}\cdot x^{5+1}\\
&&\displaystyle \phantom{xxx}\blue{\text{aplica dos veces la regla }\int x^{n} \; \dd x = \displaystyle\frac{1}{n+1} x^{n+1} + C}\\
&=&\displaystyle {{3\cdot x^8}\over{8}}+{{x^6}\over{2}}+C\\
&&\displaystyle\phantom{xxx}\blue{\text{simplificado}}
\end{array}#
Como solo pedimos una antiderivada, ahora podemos elegir #C=0#. Esto nos da:
\[F(x)={{3\cdot x^8}\over{8}}+{{x^6}\over{2}}\]
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