Hoofdstuk 1: Beschrijvende statistiek: Variabiliteit
Afwijking van het gemiddelde
Een zeer belangrijke eigenschap van een verdeling is de mate waarin de scores afwijken van het gemiddelde.
Afwijking van het gemiddelde
Om voor een bepaalde score de afwijking van het het gemiddelde te berekenen, trekken we het gemiddelde van de verdeling af van de ruwe score:
\[\text{afwijking} = X - \bar{X}\]
Het teken (#+/-#) van de afwijking vertelt ons aan welke kant van het gemiddelde de score ligt:
- Scores met een #\blue{\text{positieve}}# afwijking bevinden zich #\blue{\text{boven}}# (rechts van) het gemiddelde.
- Scores met een #\orange{\text{negatieve}}# afwijking bevinden zich #\orange{\text{onder}}# (links van) het gemiddelde.
De waarde van de afwijking representeert de absolute afstand tussen de score en het gemiddelde van de verdeling.
Het is helaas niet mogelijk om de variabiliteit binnen een verdeling te meten door de gemiddelde afwijking van het gemiddelde te berekenen. Dit komt doordat bij de berekening van het gemiddelde van de afwijkingen, de positieve en negatieve afwijkingen elkaar altijd zullen opheffen.
Als gevolg hiervan zal de de som van de afwijkingen altijd gelijk zijn aan nul, wat er vervolgens voor zorgt dat de gemiddelde afwijking van het gemiddelde ook altijd gelijk aan #0# is.
\[\text{Gemiddelde afwijking}=\dfrac{\sum(X-\bar{X})}{n} = \dfrac{0}{n} = 0\]
Dit probleem kan opgelost worden door alle afwijkingen eerst te kwadrateren voordat we het gemiddelde van de afwijkingen berekenen. Door te kwadrateren, worden alle afwijkingen (positief of negatief) omgezet naar positieve waarden.
Deze positieve waarden kunnen vervolgens bij elkaar opgeteld worden om de som van de kwadraten te berekenen.
Som van de Kwadraten
Definitie
De som van de gekwadrateerde afwijkingen van het gemiddelde noemen we de som van de kwadraten (#SK#).
Formule
\[SK = \sum{(X-\bar{X})^2}\]
\[10,\,\,\,\,\,13,\,\,\,\,\,6,\,\,\,\,\,1,\,\,\,\,\,1,\,\,\,\,\,17\] Bereken de som van kwadraten.
Om de som van kwadraten te berekenen, bereken je eerst het gemiddelde van de steekproef:
\[\bar{X} = \cfrac{\sum{X}}{n} = \cfrac{10 + 13 + 6 + 1 + 1 + 17}{6} = \cfrac{48}{6} = 8\]
Nu dat het gemiddelde van de steekproef bekend is, kan je de afwijking van elke score en de gekwadrateerde afwijking van elke score berekenen:
#X# | #X-\bar{X}# | #(X-\bar{X})^2# |
#10# | #\phantom{-}2# | #4# |
#13# | #\phantom{-}5# | #25# |
#6# | #-2# | #4# |
#1# | #-7# | #49# |
#1# | #-7# | #49# |
#17# | #\phantom{-}9# | #81# |
\[SK = \displaystyle\sum (X - \bar{X})^2 = 4 + 25 + 4 + 49 + 49 + 81 = 212 \]
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.