Hoofdstuk 3: Kansrekening: Kansrekening
Onafhankelijkheid
Wanneer twee gebeurtenissen geen invloed op elkaar hebben, dan zeggen we dat deze gebeurtenissen onafhankelijk van elkaar zijn.
Onafhankelijkheid
Definitie
Twee gebeurtenissen #A# en #B# zijn onafhankelijk van elkaar wanneer het plaatsvinden van één gebeurtenis geen invloed heeft op de kans dat de andere gebeurtenis plaatsvindt.
Voorbeelden
- Als je een muntje opgooid en Kop komt boven, dan heeft dit geen invloed op de kans het morgen gaat regenen.
- Als het vannacht stormt, dan heeft dit wel invloed op de kans er morgen bomen op de weg liggen.
Rekenregels voor onafhankelijke kansen
Voor onafhankelijke kansen gelden de volgende rekenregels:
- Als #A# onafhankelijk is van #B#, dan is #B# ook onafhankelijk van #A#.
- Als #A# en #B# onafhankelijk zijn, dan:
\[\begin{array}{rcl}
\mathbb{P}(A) &=& \mathbb{P}(A|B) \\\\
\mathbb{P}(B) &=& \mathbb{P}(B|A)\\\\
\mathbb{P}(A \cap B) &=& \mathbb{P}(A) \cdot \mathbb{P}(B)
\end{array}\]
Controleer de onafhankelijkheid van twee worpen met een dobbelsteen.
We definiëren de volgende gebeurtenissen:
- #A=# 'de eerst dobbelsteen landt op #1#'
- #B=# 'de tweede dobbelsteen landt op #1#'
- #A \cap B=# 'beide dobbelstenen landen op #1#'
De kansen op deze gebeurtenissen zijn:
- #\mathbb{P}(A) = \cfrac{1}{6}#
- #\mathbb{P}(B) = \cfrac{1}{6}#
- #\mathbb{P}(A \cap B) = \cfrac{1}{36}#
Met deze informatie kunnen we de conditionele kans van #A# gegeven #B# berekenen:
\[\mathbb{P}(A|B) = \cfrac{\mathbb{P}(A \cap B)}{\mathbb{P}(B)}=\dfrac{\cfrac{1}{36}}{\cfrac{1}{6}}=\cfrac{1}{6}\]
Aangezien de kans op #A# gelijk is aan de kans op #A# gegeven #B#, kunnen we concluderen dat #A# en #B# onafhankelijk van elkaar zijn:
\[\mathbb{P}(A) = \mathbb{P}(A|B) = \cfrac{1}{6}\]
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.