Hoofdstuk 3: Kansrekening: Kansrekening
Kans op het verschil van twee gebeurtenissen
Kans op het verschil
De kans op het verschil van #A# en #B# wordt als volgt berekend:
\[\mathbb{P}(A\backslash B) = \mathbb{P}(A) − \mathbb{P}(A \cap B)\]
Stel je een kansexperiment voor waarbij we één enkele dobbelsteen gooien en het aantal ogen tellen. Voor dit experiment definiëren we de volgende gebeurtenissen:
- #A =# 'we rollen een getal #\leq 3#'
- #B =# 'we rollen een oneven getal'
#\mathbb{P}(A \backslash B) = \cfrac{1}{6}#
De kansen op gebeurtenissen #A# en #B# zijn:
\[\begin{array}{rcl}
\mathbb{P}(A)&=&\cfrac{\text{'aantal uitkomsten}\leq 3\text{'}}{\text{'totaal aantal uitkomsten'}}=\cfrac{3}{6}\\\\
\mathbb{P}(B) &=& \cfrac{\text{'aantal oneven uitkomsten'}}{\text{'totaal aantal uitkomsten'}}=\cfrac{3}{6}
\end{array}\]
Om de kans op het verschil van #A# en #B# te berekenen, moeten we eerst de de kans op de doorsnede van #A# en #B# berekenen. Voordat we dit kunnen doen, echter, moeten we eerst bepalen of #A# en #B# onafhankelijk van elkaar zijn.
Als twee gebeurtenissen onafhankelijk van elkaar zijn, dan geldt dat:
\[\mathbb{P}(B) = \mathbb{P}(B|A)\]
In dit geval komt #\mathbb{P}(B|A)# overeen met de kans dat er een oneven getal gegooid wordt, gegeven dat het het getal kleiner of gelijk aan #3# is. Van de drie getallen kleiner of gelijk aan #3#, zijn er twee oneven, namelijk #1# en #3#. Dit betekent dat de kans op #A# gegeven #B# is:
\[\mathbb{P}(B|A) =\cfrac{2}{3}\]
Aangezien dit niet gelijk is aan #\mathbb{P}(B)#, moeten we de volgende regel gebruiken om de kans op de doorsnede te berekenen:
\[\mathbb{P}(A \cap B) = \mathbb{P}(A) \cdot \mathbb{P}(B|A) =\cfrac{3}{6}\cdot \cfrac{2}{3}=\cfrac{2}{6}\]
Nu dat de kans op de doorsnede bekend is, kan de kans op het verschil van #A# en #B# berekend worden:
\[\mathbb{P}(A \backslash B) = \mathbb{P}(A) - \mathbb{P}(A \cap B) = \cfrac{3}{6}-\cfrac{2}{6}=\cfrac{1}{6}\]
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.