Bewerkingen met functies: Exponentiële functies en logaritmen
Eigenschappen van de exponentiële functies
Eigenschappen van de exponenten
Laat #a# en #b# twee positieve reële getallen zijn. De volgende rekenregels hebben betrekking op de exponentiële functies #a^x# en #b^x#.
| 1 | \(a^0=1\) |
| 2 | \(a^{x+y}=a^x\cdot a^y\) |
| 3 | \(a^{-x}=\frac{1}{a^x}=\left (\frac{1}{a} \right )^x\) |
| 4 | \(a^{x-y}=\frac{a^x}{a^y}\) |
| 5 | \(\left(a^x\right)^y = a^{x\cdot y}\) |
| 6 | \((a\cdot b)^x = a^x\cdot b^x\) |
| 7 | als #a\lt b# en #x\gt 0#, dan #a^x\lt b^x# |
| 8 | als #a\gt 1# en #x\lt y#, dan #a^x\lt a^y# |
In het bijzonder, #a^x# is stijgend als #a\gt1# en dalend als #a\lt 1#.
Deze regels volgen rechtstreeks uit de bekende rekenregels van de rekenkunde.
Bij wijze van voorbeeld gebruiken we de regels om aan te tonen waarom #a^x# dalend is als #a\lt 1#. Stel, #x# en #y# zijn reële getallen met #x\lt y#. Dan geldt:
\[ \begin{array}{rcl}\left(\frac{1}{a}\right)^x&\lt& \left(\frac{1}{a}\right)^y\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{regel 8}}\\ \left(\frac{1}{a}\right)^x\cdot a^{x+y}&\lt& \left(\frac{1}{a}\right)^y\cdot a^{x+y}\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{beide kanten vermenigvuldigd met hetzelfde positieve getal}}\\ {a}^{-x}\cdot a^{x+y}&\lt& {a}^{-y}\cdot a^{x+y}\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{regel 3}}\\ a^{y}&\lt& a^{x}\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{regel 2}} \end{array}\]Dit toont aan dat #a^x\gt a^y#, en dus dat #a^x# dalend is.
Hier zijn enkele voorbeelden:
| 1 | \(2^0=1\) |
| 2 | \(3^{x+y}=3^3\cdot 3^y\) |
| 3 | \(5^{-x}=\frac{1}{5^x}=\left (\frac{1}{5} \right )^x\) |
| 4 | \(4^{2}=\frac{4^5}{4^3}\) |
| 5 | \(\left(2^5\right)^6 = 2^{30}\) |
| 6 | \( 6^x = 2^x\cdot 3^x \) |
Uit #a^x\cdot a^y=a^{x+y}# leiden we af: #a^6\cdot a^8=a^{6+8}=a^{14}#.
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.
