Complexe functies en veeltermen: Complexe functies
De stelling van De Moivre
Een van de belangrijkste eigenschappen van complexe getallen komt voort uit de zogenaamde stelling van De Moivre (of formule van De Moivre). Zoals we zullen zien, vereenvoudigt het de berekening van gehele machten van complexe getallen aanzienlijk.
Laat #\green{x}# een reëel getal zijn en #\orange{n}# een geheel getal. De stelling van De Moivre is de formule \[\left(\cos(\green{x}) + \sin(\green{x})\cdot\complexi\right)^{\orange{n}}=\cos(\orange{n}\cdot \green{x})+\sin(\orange{n}\cdot \green{x})\cdot \complexi\]
Met de stelling van De Moivre kan het berekenen van gehele machten van complexe getallen heel eenvoudig zijn wanneer ze in de juiste vorm zijn geschreven. We kijken eerst naar hoe dit eruit ziet voor de polaire- en modulus-argumentvormen.
Machten van complexe getallen (polaire- en modulus-argumentvorm)
Laat #\blue{z}# een complex getal met poolcoördinaten #\left[\purple{r},\green{\theta}\right]# zijn. Dan wordt #\blue{z}^{\orange{n}}# volgens de stelling van De Moivre gegeven door
\[\blue{z}^{\orange{n}}
=\left(\purple{r}\cdot\left(\cos\left(\green{\theta}\right)+\sin\left(\green{\theta}\right)\cdot\ii\right)\right)^{\orange{n}}
=\purple{r}^{\orange{n}}\cdot\left(\cos\left(\orange{n}\cdot\green{\theta}\right)+\sin\left(\orange{n}\cdot\green{\theta}\right)\cdot\ii\right)\]
Laat #\blue{z}# een complex getal zijn met modulus #\purple{r}# en hoofdwaarde #\green{\varphi}#. Dan, volgens de stelling van de Moivre, kan #\blue{z}^{\orange{n}}# worden verkregen door
\[\blue{z}^{\orange{n}}
=\left(\purple{r}\cdot\left(\cos\left(\green{\varphi}\right)+\sin\left(\green{\varphi}\right)\cdot\ii\right)\right)^{\orange{n}}
=\purple{r}^{\orange{n}}\cdot\left(\cos\left(\orange{n}\cdot\green{\varphi}\right)+\sin\left(\orange{n}\cdot\green{\varphi}\right)\cdot\ii\right)\]
Let op dat het noodzakelijk is om te controleren of #-\pi<\orange{n}\cdot\green{\varphi}\leq\pi# na de berekening. Als dit niet het geval is, moeten we veelvouden van #2\cdot \pi# optellen of aftrekken totdat de hoofdwaarde van #\blue{z}^{\orange{n}}# in het toegestane bereik ligt.
We kunnen dezelfde rekenregels voor de polaire-exponentiële vorm op een nog compactere manier verkrijgen.
Machten van complexe getallen (polaire-exponentiële vorm)
Laat #\blue{z}# een complex getal zijn waarvan de polaire-exponentiële vorm #\blue{z}=\purple{r}\cdot\e^{\green{\theta}\cdot \ii}# is. Volgens de stelling van de Moivre is #\blue{z}^{\orange{n}}# gegeven door
\[\blue{z}^{\orange{n}}=\purple{r}^{\orange{n}}\cdot\e^{\orange{n}\cdot\green{\theta}\cdot \ii}\]
Als we in plaats daarvan de hoofdwaarde gebruiken, krijgen we
\[\blue{z}^{\orange{n}}=\purple{r}^{\orange{n}}\cdot\e^{\orange{n}\cdot\green{\varphi}\cdot \ii}\]waarbij we opnieuw moeten zorgen dat #-\pi<\orange{n}\cdot\green{\varphi}\leq\pi# en de nodige veelvouden van #2\cdot\pi# moeten opgeteld of afgetrokken worden als dat niet het geval is.
Voorbeelden
\[\begin{array}{rcl}
\left( \purple{\frac{1}{2}}\cdot\e^{\green{\frac{\pi}{3}}\cdot\ii} \right)^{\orange{5}}&=&\left(\purple{\frac{1}{2}}\right)^{\orange{5}}\cdot\e^{\orange{5}\cdot \green{\frac{\pi}{3}}\cdot\ii}\\
&=&\frac{1}{32}\cdot \e^{\frac{5\cdot\pi}{3}\cdot \ii}
\end{array}\]
Gebruikmakend van de hoofdwaarde
\[\begin{array}{rcl}
\left(\purple{\frac{1}{2}}\cdot\e^{\green{\frac{\pi}{3}}\cdot\ii} \right)^{\orange{4}}&=&\purple{3}^{\orange{4}}\cdot\e^{\orange{4}\cdot\green{\frac{\pi}{4}}\cdot\ii}\\
&=&81\cdot\e^{\pi\cdot\ii}
\end{array}\]
Merk op dat #\orange{n}\cdot\green{\varphi}=\orange{4}\cdot\green{\frac{\pi}{4}}=\pi#, wat binnen het bereik van de hoofdwaarde ligt.
We gebruiken de stelling van De Moivre: gegeven #z=r \cdot \e^{\theta \cdot \ii}#, dan is #z^n=r^n \cdot \e^{n \cdot \theta \cdot \ii}#
Dit impliceert
\[ \begin{array}{rcl} \left(9 \cdot \e^{{{2\cdot \pi}\over{3}} \cdot \ii}\right)^{4}&=&9^{4}
\cdot \e^{4 \cdot {{2\cdot \pi}\over{3}} \cdot \ii} \\
&&\qquad \blue{\text{de stelling van De Moivre met }r=9 \text{, }\theta={{2\cdot \pi}\over{3}} \text{, en }n=4 \text{ gebruikt}} \\
&=& 6561 \cdot \e^{{{8\cdot \pi}\over{3}} \cdot \ii}\\
&&\qquad \blue{\text{berekend en vereenvoudigd}}
\end{array}\]
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.
