Differentiaalvergelijkingen: Het begrip differentiaalvergelijking
Notatie voor GDV's
Het kiezen van een geschikte notatie is vaak essentieel voor het uitvoeren van wiskunde. De theorie van differentiaalvergelijkingen is daar geen uitzondering op: we willen een compacte, goed leesbare notatie voor functies en afgeleiden.
Niet alleen zullen we in dit hoofdstuk voornamelijk met gewone differentiaalvergelijkingen werken, ook zullen we ons hier vrijwel altijd beperken tot één onbekende functie per vergelijking. Die onbekende functie wordt vaak met #y# aangegeven. Zoals gezegd, wordt de onafhankelijke variabele vaak aangegeven met #x# (voor bijvoorbeeld plaats, maar ook voor andere grootheden) of met #t# (vaak voor tijd).
Korte weergave van functies en afgeleiden
Omdat het vervelend is om in grote uitdrukkingen een grootheid \(y\) steeds als functie van \(t\) te moeten schrijven, dus met het functievoorschrift \(y(t)\), gebruiken we afkortingen: \(y(t)\) wordt afgekort tot \(y\) en \(y'(t)\) schrijft men als \(y'\) of \(\displaystyle\frac{\dd y}{\dd t}\).
- De tweede afgeleide \(y''(t)\) noteert men als \(y''\) of \(\displaystyle\frac{\dd^2y}{\dd t^2}\).
- Als #n# een natuurlijk getal is, dan schrijven we ook #y^{(n)}# voor zowel #y^{(n)}(t)# als #\frac{\dd^n}{\dd x^n} y(t)#, de #n#-de afgeleide van #y#.
In plaats van de #n#-de afgeleide van #y#, spreken we ook wel over de afgeleide van #y# van orde #n#.
\[y'(t) = y'=y(t)'\]
Waarom is het gebruik van #y(t)'# minder gelukkig?
\[y'(2)=\left.\frac{\dd}{\dd t}(t^{3})\right|_{t=2}=\left.3 t\right|_{t=2}=6\]
en rechts
\[y(2)'=\left(2^{3}\right)'=\left({8}\right)'=0\]
zodat #6=0#.
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.