Stelsels lineaire vergelijkingen: Stelsels lineaire vergelijkingen
Stelsels lineaire vergelijkingen oplossen door eliminatie
We hebben gezien hoe we een stelsel lineaire vergelijkingen kunnen oplossen door middel van substitutie. Er is nog een andere methode om stelsels lineaire vergelijking op te lossen, namelijk de eliminatiemethode. Deze methode is ook goed toepasbaar bij stelsels met meerdere lineaire vergelijkingen met meer onbekenden, terwijl de substitutiemethode daarbij erg ingewikkeld wordt.
|
Stappenplan |
Voorbeeld | |
|
Bij de eliminatiemethode voor het oplossen van een stelsel van twee lineaire vergelijkingen met twee onbekenden gaan we als volgt te werk. |
Los het volgende stelsel op: #\lineqs{\quad 2 \cdot x +4 \cdot y+5&= \quad 0 \cr \quad -3 \cdot x +2 \cdot y -4&= \quad 0 \cr}# |
|
| Stap 1 |
Vermenigvuldig de eerste en/of tweede vergelijking met een getal zodanig dat de coëfficiënt voor #x# of voor #y# van beide vergelijkingen gelijk wordt. |
#\lineqs{2 \cdot x +4 \cdot y+5=0 \cr -6 \cdot x +4 \cdot y -8=0 \cr}# |
| Stap 2 |
Trek de tweede vergelijking van de eerste af. We houden nu een vergelijking over met alleen #x# of #y#. |
#\begin{array}{rcl}2 \cdot x +4 \cdot y+5&=&0 \\ -6 \cdot x +4 \cdot y -8&=&0\\ \hline 8\cdot x+13&=&0\end{array}-# |
| Stap 3 |
Los de lineaire vergelijking uit stap 2 met behulp van herleiding op. |
#x=-\frac{13}{8}# |
| Stap 4 |
Substitueer de gevonden waarde in stap 3 in één van de oorspronkelijke vergelijkingen om de waarde van de andere onbekende te bepalen. |
#\begin{array}{rcl}2 \cdot -\frac{13}{8}+4 \cdot y +5&=&0\\ 4 \cdot y +\frac{7}{4}&=&0\\ 4 \cdot y&=&-\frac{7}{4} \\ y&=&-\frac{7}{16} \end{array}# |
| Stap 5 |
Geef het antwoord in de vorm \[\lineqs{ x & =\;\; \ldots \\ y &=\;\; \ldots }\] |
#\lineqs{ x &= \;\; -\frac{13}{8} \\ y &= \;\; -\frac{7}{16} }# |
#\lineqs{x&=&{{9}\over{5}}\cr y&=&{{19}\over{10}}\cr }#
In het stelsel is de coëfficiënt van #y# in de eerste vergelijking gelijk aan min één maal de coëfficiënt van #y# in de tweede vergelijking. Daarom kunnen we de variabele #y# uit de eerste vergelijking elimineren door deze vergelijking te vervangen door de som van de gegeven vergelijkingen. Daarom beginnen we in stap 2 van het stappenplan.
| Stap 2 | \[\begin{array}{rcl}-8\cdot x+6\cdot y&=&-3 \\ 3\cdot x-6\cdot y&=&-6\\ \hline -5\cdot x&=&-9\end{array}+\] |
| Stap 3 | We kunnen deze vergelijking herleiden om de waarde voor #x# te vinden. Dat gaat als volgt: \[\begin{array}{rcl} -5\cdot x&=&-9 \\&&\phantom{xxx}\blue{\text{de op te lossen vergelijking}} \\ x&=& {{9}\over{5}} \\&&\phantom{xxx}\blue{\text{beide kanten gedeeld door }-5} \end{array}\] |
| Stap 4 | We substitueren #x={{9}\over{5}}# in de tweede oorspronkelijke vergelijking. Deze lossen we vervolgens op door herleiding. Dat gaat als volgt: \[\begin{array}{rcl} 3\cdot {{{9}\over{5}}}-6\cdot y &=&-6 \\&&\phantom{xxx}\blue{\text{gesubstitueerd }x={{9}\over{5}} \text{ in de tweede vergelijking}}\\ {{27}\over{5}}-6\cdot y&=&-6\\&&\phantom{xxx}\blue{\text{uitgerekend}}\\ -6\cdot y&=&-{{57}\over{5}}\\&&\phantom{xxx}\blue{\text{aan beide zijden }{{27}\over{5}}\text{ afgetrokken}}\\ y&=&{{19}\over{10}}\\&&\phantom{xxx}\blue{\text{beide zijden gedeeld door }-6} \end{array}\] |
| Stap 5 | De oplossing van het stelsel is dus \[\lineqs{x&=&{{9}\over{5}}\cr y&=&{{19}\over{10}}\cr }\] |
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.
