Transformations de fonctions trigonométriques

Trigonométrie: Fonctions trigonométriques

Transformations de fonctions trigonométriques

Nous avons étudié les fonctions sinus et cosinus. Nous pouvons également transformer ces fonctions.

Transformations

Nous pouvons transformer les fonctions #f(x)=\sin(x)# et #g(x)=\cos(x)# de quatre manières différentes. Nous le montrerons pour la fonction sinus, mais les mêmes transformations s'appliquent pour la fonction cosinus.

	Transformations	Exemples
1	Nous déplaçons le graphe de #f(x)=\sin(x)# de #\green q# unités vers le haut. La nouvelle fonction devient \[f(x)=\sin(x)+\green q\] La période et l'amplitude de la fonction restent les mêmes, mais l'équilibre devient égal à #\green q#.	Plaatje translatie verticale
2	Nous déplaçons le graphe de #f(x)=\sin(x)# de #\blue p# unités vers la droite. La nouvelle fonction devient \[f(x)=\sin\left(x-\blue p\right)\] La période, l'amplitude et l'équilibre restent les mêmes. Nous appelons #\blue p# le déphasage ou la différence de phase.	Plaatje translatie horizontale
3	Nous étirons le graphe de #f(x)=\sin(x)# en multipliant par #\purple a#. La nouvelle fonction devient \[f(x)=\purple a \sin(x)\] La période et l'équilibre restent les mêmes, mais l'amplitude devient égale à #\purple{\left\| a \right\|}#. Si #\purple a \lt 0#, alors le graphe est inversé. Cela signifie qu'il est d'abord décroissant puis croissant. Si #\purple a =- 1#, la nouvelle fonction est le symétrique de l'ancien graphe par rapport à l'axe des #x#.	Plaatje vermenigvuldiging x-as
4	Nous étrions le graphe de #f(x)=\sin(x)# en multipliant par #\orange b#. Cela signifie que nous remplaçons #x# par #\frac{1}{\orange b}x#. La nouvelle fonction devient \[f(x)=\sin\left(\frac{1}{\orange b}x\right)\] L'équilibre et l'amplitude restent les mêmes, mais la période devient égale à #\orange b \cdot 2 \pi#.	Plaatje vermenigvuldiging #y# -comme.

Plusieurs transformations

Nous pouvons également appliquer plusieurs transformations.

Par exemple: Pour #f(x)=\purple3 \sin\left(x-\blue4\right)#, nous déplaçons d'abord le graphe de #\blue4# unités vers la droite et ensuite nous étirons le graphe obtenu en multipliant les ordonnées des points par #\purple3#.

Composition des fonctions sinus et cosinus

Une fonction sinus est de la forme #f(x)=\purple a \sin(\tfrac{1}{\orange b}(x-\blue p))+\green q#.

Cette fonction a pour période #\orange b \cdot 2 \pi#, amplitude #\purple a#, équilibre #\green q# et déphasage #\blue p#.

De même pour une fonction cosinus. Une fonction cosinus est de la forme #f(x)=\purple a \cos(\tfrac{1}{\orange b}(x-\blue p))+\green q#.

Cette fonction a pour période #\orange b \cdot 2 \pi#, amplitude #\purple a#, équilibre #\green q# et déphasage #\blue p#.

Nous notons que nous pouvons obtenir le cosinus à partir du sinus. Auparavant, nous avons vu que \[\cos(x)=\sin(x+\frac{\pi}{2})\]

Considérez les deux graphes.

Le graphe bleu correspond à l'équation:
\[y=\sin \left(x\right)\]
Quelle est l'équation du graphe vert?

#y=# #\sin \left(x+4\right)#

À l'étape 1, nous avons vu que le graphe vert est obtenu en déplaçant le graphe bleu de #4# unités vers la gauche. Ainsi, nous remplaçons toutes les occurences de #x# dans l'expression du graphe bleu #y=\sin \left(x\right)# par #x+4# . Nous obtenoons l'équation suivante pour le graphe vert:
\[y=\sin \left(x+4\right)\]

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