De exponentiële functie

Exponentiële functies en logaritmen: Exponentiële functie

De exponentiële functie

Exponentiële functie

Een functie van de vorm \[f(x)=\blue{a}^x\] met #\blue{a}>0#, noemen we een exponentiële functie.

De grafiek heeft een asymptoot bij de #x#-as. Hoe ver je ook naar links gaat, #\blue{a}^x# zal nooit gelijk worden aan #0.#

Afhankelijk van de waarde van #\blue{a}# is de grafiek stijgend of dalend. Als #\blue{a}>1#, is de grafiek stijgend. Als #0<\blue{a}<1# is de grafiek dalend.

We merken op dat het domein van de exponentiële functie de gehele #x#-as is en het bereik is slechts de positieve #y#-as.

geogebra plaatje

Schaakbord
De exponentiële functie is voor getallen groter dan #1# een functie die enorm snel groeit. Er is een mooie legende waarin dit wordt geïllustreerd. Rond het jaar 500 werd in India het schaakspel uitgevonden. De koning wilde de uitvinder van het spel bedanken, en beloofde de man een beloning die hij zelf kon kiezen.

De man kwam met het volgende idee: voor het eerste vakje op het schaakbord wilde hij #1# rijstkorrel, voor het tweede vakje wilde hij er #2#, voor het derde vakje wilde hij er #4# etcetera. De koning was bijna beledigd, hij dacht namelijk dat de man een veel te schamele beloning had gevraagd.

Toen de onderzoekers aan het hof echter gingen uitrekenen om hoeveel rijstkorrels het ging kwam de koning erachter dat het toch niet een schamele beloning was. De uiteindelijke hoeveelheid, te weten

\[2^0+2^1+2^2+\ldots+2^{62}+2^{63}=18446744073709551615,\]

bleek uiteindelijk meer te zijn dan meerdere male de toenmalige wereldproductie van rijst.

Het geval a=1Een uitzondering op de hierboven genoemde eigenschappen van de exponentiële functie is het geval #\blue{a}=1#, hiervoor is de grafiek niet dalend en niet stijgend. Ook is het bereik hiervan niet de gehele #y#-as, maar slechts #y=1#.

RekenregelsMet het rekenen met exponentiële functies wordt veel gebruik gemaakt van de rekenregels die gegeven werden bij de rekenregels voor machten, neem deze nog even goed door. Zo geldt bijvoorbeeld dat \[\blue{2}^\orange{x}\cdot\blue{2}^\purple{x+4}=\blue{2}^{\orange{x}+\purple{x+4}}=\blue{2}^{2x+4}.\]

Geef aan welke van de volgende functies een exponentiële functie is.

#f(x)=5^x#

#f(x)=\sqrt{x}#

#f(x)=\left(\frac{1}{4}\right)^x#

#f(x)=x^7#