Primitieve van machtsfuncties

Integreren: Primitieven

Primitieve van machtsfuncties

Net als bij differentiëren gebruiken we bij integreren regels om de primitieve van standaardfuncties te bepalen. We zullen nu eerst kijken naar de primitieve van een machtsfunctie.

Voor #\orange n\neq -1# geldt:

\[\int x^\orange {n}\;\dd x = \frac{1}{\orange n+1}x^{\orange n+1} + \green C \]

Voorbeeld

#\begin{array}{rcl}
\displaystyle \int x^\orange 4 \;\dd x &=&\dfrac{1}{\orange 4+1}x^{\orange 4+1} + \green C \\
&=&\dfrac 15 x^5 + \green C
\end{array}#

We kunnen dit bewijzen door te laten zien dat als de we de primitieve #\frac{1}{\orange n+1}x^{\orange n+1} + \green C# differentiëren we inderdaad de originele functie #x^\orange {n}# terugkrijgen.

\[\begin{array}{rcl}\frac{\dd}{\dd x}\left(\frac{1}{\orange n+1}x^{\orange n+1} + \green C\right)&=& \frac{\dd}{\dd x}\left(\frac{1}{\orange n+1}x^{\orange n+1}\right)+\frac{\dd}{\dd x} \green C \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{somregel}} \\ &=&\frac{1}{\orange n+1} \frac{\dd}{\dd x}x^{\orange n+1} +0 \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{constanteregel en afgeleide constante is }0} \\ &=& \frac{1}{\orange n+1} \cdot \left(\orange n+1\right) \cdot x^{\orange n +1-1} \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{machtsregel }\frac{\dd}{\dd x}x^n=n \cdot x^{n-1}} \\ &=& x^{\orange n}\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{vereenvoudigd}}\end{array}\]

Wortel

We kunnen met deze regel dus ook de primitieve van een wortel bepalen.

\[\int \sqrt{x} \;\dd x = \int x^\orange{\frac{1}{2}} \; \dd x = \frac{1}{\orange{\frac{1}{2}}+1}x^{\orange{\frac{1}{2}}+1} +\green C= \frac{2}{3}x \sqrt{x}+\green C\]

Bepaal een primitieve #F# van de functie #f(x)=x^2#.

#F(x)=# #{{x^3}\over{3}}#

#\begin{array}{rcl}\displaystyle \int x^2 \; \dd x
&=&\displaystyle \frac{1}{2+1} x^{2+1}+C \\ &&\displaystyle \phantom{xxx}\blue{\text{rekenregel } \int x^{n} \; \dd x = \displaystyle\frac{1}{n+1} x^{n+1} + C}\\
&=&\displaystyle {{x^3}\over{3}} +C \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{vereenvoudigd}}
\end{array}#

Omdat er maar om één primitieve gevraagd wordt, kunnen we nu #C=0# kiezen. Dat geeft:
\[F(x)={{x^3}\over{3}}\]

Nieuw voorbeeld