Een bekende techniek om (stelsels) differentiaalvergelijkingen op te lossen is gebaseerd op de Laplace-transformatie. Dit is een lineaire afbeelding tussen zekere vectorruimten van functies. Hier behandelen we de definitie van de Laplace-transformatie, de lineariteit ervan en twee belangrijke rekenregels. Later zullen we de meer rekenregels en toepassingen bij het oplossen van (stelsels) differentiaalvergelijkingen bespreken.
De Laplace-getransformeerde van een functie #f# gedefinieerd op #\ivco{0}{\infty}# is de functie #\laplace{(f)}#, voor voldoend grote #s# gedefinieerd door
\[\laplace{(f)}(s) = \int_0^{\infty} f(t)\cdot \e^{-s\cdot t}\dd t\]
De Laplace-transformatie is de afbeelding \(\laplace{}\) die aan #f# de Laplace-getransformeerde \(\laplace{(f)}\) van #f# toevoegt.
De Laplace-getransformeerde van de constante functie #1# is
\[\laplace{(1) }(s) =\int_0^{\infty} \e^{-s\cdot t}\dd t=\left[ \frac{-1}{s}\e^{-s\cdot t}\right]_{0}^{\infty}=0-\frac{-1}{s}=\frac{1}{s}\]
die gedefinieerd is op #\ivoo{0}{\infty}# en dus op elk interval van de vorm #\ivco{a}{\infty}# waarbij #a\gt0#.
De Laplace-transformatie voegt dus aan een functie #f# op het interval #\ivco{0}{\infty}# (waarvoor de aangegeven bepaalde integraal bestaat) de functie #\laplace{(f)}# op een interval #\ivco{a}{\infty}# toe. Het is dus een afbeelding van de vectorruimte van reële functies op #\ivco{0}{\infty}# (waarvoor de aangegeven bepaalde integraal bestaat) naar de verzameling van alle functies die gedefinieerd zijn op een interval van de vorm #\ivco{a}{\infty}#.
Het argument van de functie #f# wordt vaak met #t# aangeduid, om de associatie met de tijd te benadrukken; dit houdt onder andere verband met de restrictie #t\ge0#. In het functievoorschrift van de Laplace-getransformeerde wordt gewoonlijk de variabele #s# als argument gebruikt. De Laplace-transformatie levert dan een overgang van het tijd-domein (kortweg: #t#-domein) naar het frequentiedomein (kortweg: #s#-domein).
Vaak wordt in plaats van #\laplace{(f)}(s)# de notatie #\laplace \{f(t) \}(s)# of #\laplace \{f\}(s)# gebruikt. We zullen de accolades #\{# en #\}# echter vermijden, omdat het om gebruikelijke haken gaat. We schrijven ook wel #\laplace{(f(t))}(s)# als #f(t)# een grote uitdrukking is om aan te geven wat het argument van #\laplace{}# is. Merk op dat in #\laplace{(f)}(s)# de prioriteit ligt op de Laplace-transformatie: duidelijker zou zijn #\left(\laplace{(f)}\right)(s)#, maar dat vermijden we om het aantal haakjes niet te groot te maken.
Ook wordt wel de notatie #F(s)# gebruikt voor #\laplace{(f)}(s)#.
De Laplace getransformeerde is niet gedefinieerd voor elke functie #f#. Maar als #\laplace{(f)}(s_0)# bestaat voor een zekere waarde #s_0#, dan, dan bestaat ze ook voor alle #s\ge s_0#. Immers, de functie #\e^{-s\cdot t}# van #t# op het gesloten interval #\ivco{0}{\infty}# gaat snel naar #0# als #t# naar #\infty# gaat; des te sneller naarmate #s# groter is.
De Laplace-transformatie wordt zelden uitgerekend met behulp van de integraaldefinitie. In plaats daarvan worden rekenregels gebruikt. De eerste eigenschap is de lineariteit:
Stel dat #f# en #g# continue functies zijn met de eigenschap dat #\laplace{(f)}(s)# en #\mathcal{L}(g)(s)# bestaan. Als #\alpha#, #\beta# reële getallen zijn, dan geldt \[\laplace{(\alpha\cdot f+\beta\cdot g)} =\alpha\cdot\laplace{(f)}+\beta\cdot\laplace{(g)} \]
In andere woorden: de Laplace-operator is een lineaire afbeelding van de vectorruimte van alle continue reële functies waarvoor de integraal \(\int_0^{\infty} f(t)\cdot \e^{-s\cdot t}\dd t\) bestaat, naar de vectorruimte van alle reële functies die gedefinieerd zijn op een interval van de vorm #\ivco{a}{\infty}# voor een reëel getal #a#.
\[\begin{array}{rcl}\laplace{(\alpha\cdot f+\beta\cdot g)}(s) &=& \int_0^{\infty} (\alpha\cdot f+\beta\cdot g)\cdot \e^{-s\cdot t}\dd t\\&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{definitie Laplace-transformatie}}\\&=& \int_0^{\infty} (\alpha\cdot f\cdot \e^{-s\cdot t}+\beta\cdot g\cdot \e^{-s\cdot t})\dd t\\&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{distributiviteit vermenigvuldiging}}\\&=& \alpha \int_0^{\infty} f\cdot \e^{-s\cdot t}\dd t+\beta\cdot\int_0^{\infty}g\cdot \e^{-s\cdot t}\dd t\\&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{lineariteit integratie}}\\ &=&\alpha\cdot\mathcal{L} f(s)+\beta\cdot\laplace{g}(s)\\&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{definitie Laplace-transformatie}} \end{array}\]
Verdere rekenregels:
Laat #a# en #b# reële getallen zijn met #b\gt0# en laat #n# een natuurlijk getal zijn.
\[\begin{array}{lcrcl}\text{tijdschaling:}&\phantom{xx}&\laplace{\left(f(bt)\right)}(s) &=&\displaystyle\dfrac{1}{b} \laplace{f\left(\dfrac{s}{b}\right)}\\ \text{frequentieverschuiving:}&\phantom{xx}&\laplace{\left(\ee^{at}\cdot f(t)\right)}(s) &=& \laplace{(f)}(s-a)\\\text{afgeleide in frequentiedomein:}&\phantom{xx}&\laplace{\left(t^n\cdot f(t)\right)}(s) &=& (-1)^n\left(\laplace{(f)}\right)^{(n)}(s) \end{array}\]
Speciale gevallen:
\[\begin{array}{rcl} \laplace{\left(t\cdot f(t)\right)}(s) &=& -\left(\laplace{(f)}\right)'(s)\\ \laplace{\left(t^n\right)}(s) &=& \dfrac{n!}{s^{n+1}}\\ \laplace{\left(\ee^{at}\cdot \dfrac{t^{n-1}}{(n-1)!}\right)}(s) &=& \dfrac{1}{(s-a)^{n}}\end{array}\]
Zoals we in de voorbeelden hieronder te zien is, zijn de Laplace-getransformeerden van de goniometrische functies sinus en cosinus gegeven door
\[\begin{array}{rcl}\laplace{\left(\cos(t)\right)}(s) &=&\displaystyle \frac{s}{s^2+1}\\ \laplace{\left(\sin(t)\right)}(s) &=&\displaystyle \frac{1}{s^2+1}\end{array}\]
De wet voor tijdschaling geeft
\[\begin{array}{rclcl}\laplace{\left(\cos(bt)\right)}(s) &=&\displaystyle \frac{1}{b}\left(\frac{\frac{s}{b}}{\left(\frac{s}{b}\right)^2+1}\right) &=& \displaystyle\frac{s}{s^2+b^2}\\ \laplace{\left(\sin(bt)\right)}(s) &=&\displaystyle \frac{1}{b}\left(\frac{1}{\left(\frac{s}{b}\right)^2+1}\right)&=&\displaystyle\frac{b}{s^2+b^2}\end{array}\]
De wet voor de afgeleide in het frequentiedomein geeft
\[\begin{array}{rclcl}\laplace{\left(t\cdot\cos(t)\right)}(s) &=&\displaystyle- \frac{\dd}{\dd s}\left(\frac{s}{s^2+1}\right) &=& \displaystyle\frac{s^2-1}{(s^2+1)^2}\\ \laplace{\left(t\cdot\sin(t)\right)}(s) &=&\displaystyle -\frac{\dd}{\dd s}\left(\frac{1}{s^2+1}\right)&=&\displaystyle\frac{2s}{(s^2+1)^2}\end{array}\]
De wet frequentieverschuiving geeft
\[\begin{array}{rclcl}\laplace{\left(\e^{at}\cdot\cos(t)\right)}(s) &=& \displaystyle\laplace{\left(\cos(t)\right)}(s-a) &=& \displaystyle\frac{s-a}{(s-a)^2+1}\\ \laplace{\left(\e^{at}\cdot\sin(t)\right)}(s) &=&\displaystyle \laplace{\left(\sin(t)\right)}(s-a)&=&\displaystyle\frac{1}{(s-a)^2+1}\end{array}\]
Tijdschaling:
\[\begin{array}{rcl}\laplace{\left(f(bt)\right)}(s) &=&\int_0^{\infty}f(bt)\cdot \ee^{-st}\,\dd t\\&=&\displaystyle\frac{1}{b}\cdot\int_0^{\infty} f(u)\cdot \ee^{-\frac{s}{b}\cdot u}\,\dd u\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{substitutie } t = \frac{u}{b}}\\ &=&\displaystyle \frac{1}{b}\laplace{(f)}\left(\frac{s}{b}\right)\\ \end{array}\]
Frequentieverschuiving:
\[\begin{array}{rcl}\laplace{\left(\ee^{at}\cdot f(t)\right)}(s) &=&\int_0^{\infty}\ee^{at}\cdot f(t)\cdot \ee^{-st}\,\dd t\\&=&\int_0^{\infty} f(t)\cdot \ee^{-(s-a)\cdot t}\,\dd t\\&=&\laplace{(f)}(s-a)\\ \end{array}\]
Afgeleide in frequentiedomein: we bewijzen eerst het geval #n=1#; hierbij maken we gebruik van het feit dat onder de gegeven omstandigheden, differentiatie naar #s# en integratie naar #t# verwisseld mogen worden
\[\begin{array}{rcl} \laplace{\left(t \cdot f(t)\right)}(s) &=& \int_0^{\infty}t\cdot f(t)\cdot \ee^{-st}\,\dd t\\ &=&- \int_0^{\infty} \dfrac{\partial}{\partial s}\left(f(t)\cdot \ee^{-st}\right)\,\dd t\\ &=&- \dfrac{\dd}{\dd s} \int_0^{\infty} f(t)\cdot \ee^{-st}\,\dd t\\ &=&- \dfrac{\dd}{\dd s}\left(\laplace{(f)}(s)\right)\\ &=& -\left(\laplace{(f)}\right)'(s)\\ \end{array}\]
Het algemene geval volgt hieruit met inductie naar #n#: voor #n\gt 1# geldt
\[\begin{array}{rcl} \laplace{\left(t^n\cdot f(t)\right)}(s) &=& \laplace{\left(t\cdot \left(t^{n-1}\cdot f(t)\right)\right)}(s)\\ &=&-\dfrac{\dd}{\dd s}\left(\laplace{(t^{n-1}f(t))}(s)\right)\\ &=&-(-1)^{n-1}\dfrac{\dd}{\dd s}\dfrac{\dd^{n-1}}{\dd s^{n-1}}\left(\laplace{(f(t))}(s)\right)\\ &=&(-1)^{n}\dfrac{\dd^{n}}{\dd s^{n}}\left(\laplace{(f(t))}(s)\right)\\ &=& (-1)^n\left(\laplace{(f)}\right)^{(n)}(s)\\ \end{array}\]
De eerste twee speciale gevallen volgen uit de regel voor de afgeleide in het frequentiedomein door #n=1# respectievelijk #f(t)=1# te nemen. Het derde speciale geval volgt uit het vorige geval door toepassing van lineariteit en frequentieverschuiving.
Hier zijn enkele voorbeelden:
Bereken de Laplace-transformatie van de functie #f# op #\ivco{0}{\infty}# gedefinieerd door
\[f(t) = 2 t+3 \]
Geef je antwoord als functievoorschrift in de variabele #s# voor #s\gt 0#.
#\laplace{(f)}(s) = # #{{3 s+2}\over{s^2}}#
Met behulp van de definitie van Laplace-getransformeerde vinden we
\[\begin{array}{rcl}\laplace{(f)}(s) &=&\displaystyle \int_0^{\infty}\left(2 t+3\right)\cdot \ee^{-st} \,\dd t\\
&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{definitie van Laplace-getransformeerde}}\\
&=&\displaystyle\lim_{T\to\infty} \int_0^T\left(2 t+3 \right)\cdot \ee^{-st} \,\dd t\\
&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{definitie bepaalde integraal met bovengrens }\infty}\\
&=&\displaystyle\lim_{T\to\infty}\left[-{{\left(2 s t+3 s+2\right) \euler^ {- s t }}\over{s^2}} \right]_{t=0}^{t=T}\\
&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{functie geprimitiveerd}}\\
&=&\displaystyle\lim_{T\to\infty}\left({{3 s+2}\over{s^2}}-{{\left(2 T s+3 s+2\right) \euler^ {- T s }}\over{s^2}} \right)\\
&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{primitieve functie geevalueerd in randpunten}}\\
&=&\displaystyle {{3 s+2}\over{s^2}}-0\\
&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{limiet voor }T\to\infty\text{ bepaald}}\\
&=&\displaystyle {{3 s+2}\over{s^2}}
\end{array}\]
Met behulp van de lineariteit kunnen we de oplossing sneller vinden:
\[\begin{array}{rcl}\laplace{(f)}(s) &=&\displaystyle \laplace{\left(2 t+3\right)}(s)\\
&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{definitie van }f}\\
&=&\displaystyle 2\cdot \laplace{\left( t\right)}(s)+3\cdot\laplace{\left(1\right)}(s)\\
&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{lineariteit van de Laplace-transformatie}}\\
&=&\displaystyle 2\cdot \frac{1}{s^2}+3\cdot\frac{1}{s}\\
&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{van rekenregels bekende Laplace-getransformeerden}}\\
&=&\displaystyle {{3 s+2}\over{s^2}}
\end{array}\]
De Laplace-transformatie
