Convolutie

Differentiaalvergelijkingen en Lineaire algebra: Laplace-transformaties

Convolutie

De inverse Laplace-getransformeerde van het product van de Laplace getransformeerden van twee functies #f# en #g# is een convolutie van functies. We laten eerst zien wat de convolutie van twee functies is.

Convolutieproduct Laat #f# en #g# twee functies zijn gedefinieerd op #\ivco{0}{\infty}#. Het convolutieproduct, of gewoon convolutie, van #f# en #g#, aangegeven met #f\ast g#, is de functie op #\ivco{0}{\infty}# gegeven door het voorschrift \[( f\ast g) (t) = \int_0^t f(u)\cdot g(t-u)\,\dd u\]

De convolutieproducten #f\ast 1# en #1\ast f# zijn primitieven van #f#. Inderdaad is de eerste gelijk aan #\int_0^t f(t)\,\dd t# en de tweede #\int_0^t f(t-u)\,\dd t = -\int_t^0f(v)\,\dd v# (dankzij de substitutie #t-u =v#).

Het convolutieproduct heeft de volgende eigenschappen gemeen met het gewone product:

Rekenregels voor convoluties

\[\begin{array}{lcrcl}\color{blue}{\text{commutativiteit:}}&\phantom{x}& f\ast g &=& g\ast f\\\color{blue}{\text{associativiteit:}}&\phantom{x}&(f\ast g)\ast h&=& f\ast (g\ast h)\\\color{blue}{\text{distributiviteit:}}&\phantom{x}& f\ast (g+ h)&=&f\ast g+f \ast h\end{array}\]

TegenvoorbeeldHet convolutieproduct heeft niet alle eigenschappen van het gewone product. Zo is #1\ast 1 \ne 1#, want

\[\left(1\ast1\right)(t) = \int_0^t 1\cdot 1\,\dd u = t \ne 1\]

Commutativiteit:

\[\begin{array}{rcl}(f\ast g)(t) &=& \int_0^t f(u)\cdot g(t-u)\dd u\\ &=&-\int_t^0 f(t-v)\cdot g(v)\dd v\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{substitutie } u=t-v}\\ &=&\int_0^t g(v)\cdot f(t-v) \dd v\\ &=& (g\ast f)(t) \end{array}\]

Associativiteit:

\[\begin{array}{rcl}((f\ast g)\ast h)(t) &=& \int_0^t (f\ast g)(u)\cdot h(t-u)\dd u\\ &=&\int_0^t\int_0^u f(v)\cdot g(u-v) h(t-u)\dd v\,\dd u\\ &=&\int_0^t\int_v^t f(v)\cdot g(u-v) h(t-u)\dd u\,\dd v\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{integralen verwisseld}}\\ &=&\int_0^t\int_0^{t-v} f(v)\cdot g(w) h(t-w-v)\dd w\,\dd v\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{substitutie } w=u-v}\\ &=&\int_0^t f(v)\cdot (g\ast h)(t-v)\dd v\\ &=& (f\ast(g\ast h))(t) \end{array}\]

Distributiviteit:

\[\begin{array}{rcl}(f\ast (g+ h))(t) &=& \int_0^t f(u)\cdot (g+h)(t-u)\dd u\\ &=&\int_0^t f(u)\cdot g(t-u)\dd u+\int_0^t f(u)\cdot h(t-u)\dd u\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{lineariteit van de bepaalde integraal }}\\ &=&(f\ast g)(t)+(f \ast h)(t)\\ &=& (f\ast g+f \ast h)(t) \end{array}\]

De volgende stelling zegt dat de Laplace-transformatie een convolutieproduct in het #t#-domein overvoert in een gewoon product in het #s#-domein.

Convolutiestelling De Laplace-transformatie #\mathcal{L}# voldoet aan de volgende regel voor alle stuksgewijs continue functies #f# en #g# op #\ivco{0}{\infty}# waarvan de Laplace-getransformeerde gedefinieerd is op #\ivco{a}{\infty}#. \[ \mathcal{L}(f\ast g)={\mathcal L}(f) \cdot {\mathcal L}(g) \phantom{xx} \text{op }\phantom{xx}\ivco{a}{\infty} \]

\[\begin{array}{rcl} {\mathcal L}(f\ast g) (s) &=&\displaystyle \int_0^{\infty} (f\ast g)(t) \ee^{-s\cdot t}\dd t \\ &=&\displaystyle \int_0^{\infty} \int_0^t f(u)\cdot g(t-u)\,\dd u \,\ee^{-s\cdot t}\dd t\\ &=&\displaystyle \int_0^{\infty} \int_0^t f(u)\cdot g(t-u)\,\,\ee^{-s\cdot t}\dd u\dd t\\ &=&\displaystyle \int_0^{\infty} \int_u^{\infty} f(u)\cdot g(t-u)\,\ee^{-s\cdot t} \dd t \,\dd u\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{integratievolgorde verwisseld}}\\ &=&\displaystyle \int_0^{\infty} \int_u^{\infty} f(u)\cdot\ee^{-su} g(t-u)\,\ee^{-s\cdot( t-u)} \dd t \,\dd u\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\ee^{-su}\cdot \ee^{-s(t-u)} = \ee^{-st}}\\ &=&\displaystyle \int_0^{\infty} \int_0^{\infty} f(u)\cdot\ee^{-su} g(v)\,\ee^{-s\cdot v} \dd v \,\dd u\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{substitutie }t-u = v}\\ &=&\displaystyle \int_0^{\infty} f (u)\cdot \ee^{-su}\,\dd u \cdot \int_0^{\infty} g (v)\cdot \ee^{-sv}\,\dd v \\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{tweede term is constante in }u}\\&=& \displaystyle {\mathcal L}(f) (s)\cdot {\mathcal L}(g) (s)\\&=& \displaystyle \left({\mathcal L}(f) \cdot {\mathcal L}(g) \right)(s)\end{array}\]

Toepassing van #\mathcal{L}^{-1}# op deze formule laat zien dat, voor twee Laplace-getransformeerde functies #y(s)# en #z(s)#,

\[ \mathcal{L}^{-1}(y)\ast \mathcal{L}^{-1}(z)={\mathcal L}^{-1}(y\cdot z) \]

Met #f= \mathcal{L}^{-1}(y)# en #g = \mathcal{L}^{-1}(z)# kan dit geschreven worden als \({\mathcal L}^{-1}\left({\mathcal L}(f)\cdot{\mathcal L}(g) \right)=f\ast g \), wat de versie is die vermeld staat aan het begin van deze pagina.

Het convolutieproduct van #f(t) = \e^{7 t}# en #g(t) = t^2# kan rechtstreeks bepaald worden door een primitieve van de functie #f(\tau)\cdot g(t-\tau)# te bepalen. Deze is te vinden met behulp van partiële integratie.

Bepaal nu de convolutieproduct van #f(t) = \e^{7 t}# en #g(t) = t^2# met behulp van de Laplace-transformatie.

#(f\ast g) (t)=# #{{2\cdot \euler^{7\cdot t}}\over{343}}-{{t^2}\over{7}}-{{2\cdot t}\over{49}}-{{2}\over{343}}#

Om te beginnen bepalen we #\laplace{(f)}# en #\laplace{(g)}# aan de hand van de speciale gevallen van de rekenregels voor Laplace-transformaties:
\[\begin{array}{rclcl} \laplace{(f)}(s) &=& \laplace{(\e^{7 t})}(s) &=& \displaystyle {{1}\over{s-7}} \\
\laplace{(g)}(s) &=& \laplace{(t^2)}(s) &=& \displaystyle {{2}\over{s^3}} \\
\end{array}\]
We maken de berekening nu af met behulp van de Convolutiestelling en de regel voor Inverse Laplace-getransformeerden van rationale functies:\[\begin{array}{rclcl}(f\ast g) (t) &=&\displaystyle \laplace^{-1}{\left(\laplace{f}\cdot \laplace{g}\right)}(t) \\
&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{Convolutiestelling}}\\
&=&\displaystyle \laplace^{-1}{\left({{1}\over{s-7}}\cdot {{2}\over{s^3}}\right)}(t) \\
&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{hierboven berekend}}\\
&=&\displaystyle \laplace^{-1}{\left(-{{2}\over{343\cdot s}}-{{2}\over{49\cdot s^2}}-{{2}\over{7\cdot s^3}}+{{2}\over{343\cdot \left(s-7\right)}}\right)}(t) \\
&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{partiële breuksplitsing}}\\
&=& \mathcal{L}^{-1}\left( -{{2}\over{343\cdot s}} \right)(t)+\mathcal{L}^{-1}\left( -{{2}\over{49\cdot s^2}} \right)(t)+\mathcal{L}^{-1}\left( -{{2}\over{7\cdot s^3}} \right)(t)+\mathcal{L}^{-1}\left( {{2}\over{343\cdot \left(s-7\right)}} \right) (t) \\
&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{lineariteit van }\mathcal{L}^{-1}}\\
&=& \displaystyle {{2\cdot \euler^{7\cdot t}}\over{343}}-{{t^2}\over{7}}-{{2\cdot t}\over{49}}-{{2}\over{343}} \\
&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{bekende inverse Laplace-getransformeerden}}\\
\end{array}\]

Nieuw voorbeeld