De Laplace-transformatie is injectief, tenminste bij de juiste keuze van functies in het tijd-domein. Daarom bespreken we eerst een speciale klasse van functies.
Een verzameling #J# van reële punten heet discreet als in elk gesloten interval van eindige lengte eindig veel punten van #J# liggen.
Een reële functie #f# heet stuksgewijs continu op een interval #I# als er een discrete deelverzameling #J# van #I# is, zodat #f# gedefinieerd en continu is in elk punt van #I# buiten #J# en als in elk punt #j# van #J# de functie #f# de linker limiet #\lim_{x\uparrow j}f(x)# en de rechter limiet #\lim_{x\downarrow j}f(x)# bestaan en verschillend zijn.
De verzameling #J# ligt uniek vast voor een stuksgewijs continue functie. Ze bestaat uit alle sprongen van #f#.
Laat #c# een positief reëel getal zijn. We zeggen dat een functie #f# exponentiële orde #c# heeft als er getallen #M\gt0# en #t_0\gt 0# zijn, zodat #\left|f(t)\right|\le M\cdot\e^{c\,t}# voor #t\gt t_0#. We zeggen dat #f# exponentiële orde heeft als er een positief reëel getal #c# is, zodat #f# exponentiële orde #c# heeft.
De verzameling gehele getallen is een discrete verzameling reële punten. De verzameling rationale getallen is dat niet.
Continue functies zijn stuksgewijze functies zonder sprongen.
De eenheidsstapfunctie, ook wel Heaviside-functie genoemd, is de reële functie #u_a# gedefinieerd door
\[u_a(x) =\begin{cases} 0 &\text{als } x\lt a\\ 1&\text{als }x\ge a\end{cases}\]
Dit is een stuksgewijze continue functie met één sprong, namelijk #x=a#. Deze functie heeft exponentiële orde #c# voor elke positieve waarde van #c#.
De Laplace-transformatie is injectief op de ruimte van bovenstaande functies:
Laat #c# een positief reëel getal zijn en #f# en #g# twee stuksgewijs continue functies op #\ivco{0}{\infty}# die exponentiële orde #c# hebben.
- De Laplace-getransformeerde #\laplace{(f)}(s)# is gedefinieerd voor #s\gt c# en voldoet aan \[\lim_{s\to\infty}\laplace{(f)}(s) = 0\]
- Als #\laplace{(f)}(s)=\laplace{(g)}(s)# voor alle #s\gt c#, dan geldt \(f(t) = g(t)\) voor alle #t# die geen sprong van #f# of #g# zijn.
Vergelijk de Heaviside-functie #u_c# met de functie #v_c# gedefinieerd door \[v_c(x) =\begin{cases} 0 &\text{als } x\le c\\ 1&\text{als }x\gt c\end{cases}\] Als reële functies verschillen ze in #c#, maar als functie gedefinieerd buiten alle sprongen zijn ze gelijk.
De Laplace-getransformeerden van de functies #u_c# en #v_c# zijn gelijk. Als we uit gelijkheid van haar getransformeerden willen concluderen dat twee stuksgewijs continue functies gelijk zijn, dan moeten we de waarden van de functies in sprongen buiten beschouwing laten.
Net als de Laplace-transformatie kan ook de inverse Laplace-transformatie gedefinieerd worden met behulp van een integraal:\[\mathcal{L}^{-1}(F(s))(t) = \frac{1}{2\pi\ii}\int_{\gamma-\ii R}^{\gamma+\ii R}\ee^{st}\cdot F(s)\dd s\]
Hier zijn #\gamma# en #R# voldoend grote reële getallen. Deze integraal moet geëvalueerd worden met complexe variabelen; de integratievariabele #s# doorloopt de complexe getallen op de verticale lijn van #\gamma-\ii R# naar #\gamma+\ii R#.
We zullen de inverse niet uitrekenen met deze formule.
Gezien deze stelling is de Laplace-transformatie een injectieve afbeelding op het domein #E# van stuksgewijs continue functies op #\ivco{0}{\infty}# van exponentiële orde. Hierbij kiezen we steeds als domein van een stuksgewijs continue functie #f# de verzameling van alle punten in #\ivco{0}{\infty}# die geen sprong van #f# zijn.
Omdat #E# een lineaire ruimte is (ga na!) en de Laplace-transformatie lineair (zie de lineariteitsstelling), is #\laplace{}# een inverteerbare lineaire afbeelding van #E# naar het beeld van #E# onder #\laplace{}#. De inverse Laplace-transformatie is dan ook lineair.
Volgens de eerste uitspraak van de eenduidigheidsstelling ligt het beeld van #E# onder #\laplace{}# binnen de vectorruimte van functies gedefinieerd op een interval van de vorm #\ivoo{a}{\infty}# die voor #s\to\infty# naar #0# gaan. Deze eigenschap is niet voldoende om het beeld precies te beschrijven. In het geval van een rationale functie #y(s)#, betekent deze voorwaarde dat de graad van de teller van #y(s)# kleiner is dan de graad van de noemer van #y(s)#; hieronder blijkt dit een voldoende voorwaarde voor #y(s)# te zijn om in het beeld van #\laplace{}# te liggen.
Het vinden van de inverse Laplace-transformatie kan bewerkelijk zijn. Voor een indruk van de berekening van de inverse Laplace-transformatie bekijken we het geval van een rationale functie in #s#. Door middel van breuksplitsing is elke rationale functie te schrijven als een som van breuken met in de noemer een macht van een lineaire of irreducibele kwadratische veelterm. We beschrijven hoe de inverse Laplace-transformatie van zo'n functie in #s# te vinden is.
Als #y(s)=\frac{p(s)}{q(s)}# een rationale functie is met #p(s)# en #q(s)# veeltermen, zodat #p(s)# kleinere graad dan #q(s)# heeft, dan is #y(s)# de Laplace-getransformeerde van een stuksgewijs continue functie #f(t)# van exponentiële orde. Deze inverse Laplace-getransformeerde functie #f(t)# van #y(s)# kan als volgt gevonden worden.
- Pas eerst breuksplitsing toe op #y(s)#; dan is #f(t)# een lineaire combinatie van de inverse Laplace-getransformeerden van de termen van de breuksplitsing.
- Elke term van de breuksplitsing heeft de vorm #\frac{b}{(s-a)^{m}}# of #\frac{p\cdot s + q}{((s-a)^2+b^2)^{m}}#, waarbij #m# een natuurlijk getal is en #p#, #q#, #a#, #b# reële getallen zijn met #b\ne0#. In het eerste geval is de bepaling van de inverse Laplace-getransformeerde te vinden met behulp van de eerste regel uit onderstaande tabel.
- In het tweede geval (waarin de noemer de #m#-de macht van een irreducibele kwadratische veelterm is) is de berekening met behulp van de frequentieverschuiving terug te brengen tot het geval #a=0# en vervolgens met tijdschaling tot het geval #b=1#; in de tweede regel van onderstaande tabel is het geval #m=1# weergegeven.
- In de resterende gevallen heeft de term de vorm #\frac{p\cdot s + q}{(s^2+1)^{m}}# met #m\ge2#. De inverse Laplace-getransformeerde hiervan kan met de regel voor differentiatie in het frequentiedomein toegepast op #t^{k}\cdot\cos(t)# en #t^{k}\cdot\sin(t)# voor #k\lt m# gevonden worden.
\[\begin{array}{|c|c|}\hline y(s)&\mathcal{L}^{-1}y(t)\\ \hline\dfrac{1}{(s-a)^{m}}& \dfrac{t^{m-1}\ee^{a\cdot t}}{(m-1)!} \\ \hline\dfrac{p\cdot s + q}{s^2+1}& p\cdot\cos(t)+q\cdot\sin(t) \\\hline \end{array}\]
De algemene formule voor het geval #m=1# met kwadratische noemer is \[\mathcal{L}^{-1}\left(\dfrac{p\cdot s+ q }{(s-a)^2+b^2}\right)=\e^{a\cdot t}\cdot\left(p\cdot \cos(b\cdot t)+ \frac{q+p\cdot a}{b} \cdot\sin(b\cdot t)\right)\]
Deze formule is te vinden als aangegeven:
\[\begin{array}{rcl}\mathcal{L}^{-1}\left(\dfrac{p\cdot s+ q }{(s-a)^2+b^2}\right)&=& \mathcal{L}^{-1}\left(\dfrac{p\cdot (s-a)+ q+p\cdot a }{(s-a)^2+b^2}\right)\\ &&\phantom{x}\color{blue}{\text{herschreven naar argument }s-a }\\ &=& \e^{a\cdot t}\cdot \mathcal{L}^{-1}\left(\dfrac{p\cdot s+ q+p\cdot a }{s^2+b^2}\right)\\&&\phantom{x}\color{blue}{\text{frequentieverschuiving: }\mathcal{L}^{-1}( y(s-a)) =\e^{a\cdot t}\mathcal{L}^{-1}(y(s))} \\ &=& \e^{a\cdot t}\cdot \dfrac{1}{b}\cdot \mathcal{L}^{-1}\left(\dfrac{p\cdot \frac{s}{b}+ \frac{q+p\cdot a}{b} }{\left(\frac{s}{b}\right)^2+1}\right)\\&&\phantom{x}\color{blue}{\text{herschreven naar argument }\frac{s}{b} }\\ &=& \e^{a\cdot t}\cdot \left(\mathcal{L}^{-1}\left(\dfrac{p\cdot s+ \frac{q+p\cdot a}{b} }{s^2+1}\right)(b\cdot t)\right)\\&&\phantom{x}\color{blue}{\text{tijdschaling: }\frac{1}{b}\mathcal{L}^{-1}( y(\frac{s}{b})) (t)=\mathcal{L}^{-1}(y(s))(b\cdot t) }\\ &=& \e^{a\cdot t}\cdot\left(p\cdot \cos(b\cdot t)+ \frac{q+p\cdot a}{b} \cdot\sin(b\cdot t)\right)\\&&\phantom{x}\color{blue}{\text{formule uit tabel} }\end{array}\]
Met de eerste formule uit de tabel kunnen we alle termen in een breuksplitsing van #y(s)#aan die de vorm #\frac{b}{(s-a)^m}# hebben.
De overige termen hebben de vorm #\frac{p\cdot s + q}{((s-a)^2+b^2)^m}# voor reële getallen #p#, #q#, #a#, #b# met #b\ne0#. Zoals we in het voorbeeld gezien hebben, kunnen we met behulp van een frequentie-verschuiving de berekening van de inverse Laplace-transformatie terugbrengen tot het geval waarin #a=0# en kunnen we vervolgens door middel van een tijdschaling de berekening terugbrengen tot het geval waarin #b=1#. Voor #m=1# staat de inverse Laplace-getransformeerde in de tabel. Voor #m=2# kunnen we de inverse Laplace-getransformeerde van #\frac{p\cdot s + q}{(s^2+1)^m}# vinden met behulp van de volgende vier bekende Laplace-getransformeerden:
\[\begin{array}{rclcrcl}\laplace{(\cos(t))} &=&\dfrac{s}{s^2+1}&\qquad&
\laplace{(\sin(t))} &=&\dfrac{1}{s^2+1} \\ \laplace{(t\cdot \cos(t))} &=&\dfrac{s^2-1}{(s^2+1)^2}&\qquad&
\laplace{(t\cdot \sin(t))} &=&\dfrac{2s}{(s^2+1)^2}
\end{array}\]
We gebruiken deze formules om, voor willekeurige reële getallen #p# en #q#, de inverse Laplace getransponeerde van de functie \[y(s) = \frac{p\cdot s+q}{(s^2+1)^2}\]
te bepalen.
Uit #\laplace{(t\cdot \cos(t))} =\frac{s^2-1}{(s^2+1)^2} =\frac{1}{s^2+1} -\frac{2}{(s^2+1)^2}=\laplace{(\sin(t))}-\frac{2}{(s^2+1)^2}# leiden we vanwege de lineariteit van de Laplace-transformatie af dat
\[\frac{2}{(s^2+1)^2} = \laplace{\left( \sin(t)-t\cdot\cos(t) \right)}\]
Gebruikmakend hiervan en van #\frac{2s}{(s^2+1)^2} =\laplace{(t\cdot \sin(t))} # vinden we
\[\begin{array}{rcl}
\dfrac{p\cdot s+ q }{(s^2+1)^2}&=&\displaystyle\frac{p}{2}\cdot \frac{2s}{(s^2+1)^2}+\frac{q}{2}\cdot \frac{2}{(s^2+1)^2}\\ &=&\displaystyle\frac{p}{2}\cdot\laplace{(t\cdot \sin(t))}+\frac{q}{2}\cdot \left(\laplace{(\sin(t))} -\laplace{(t\cdot \cos(t))} \right)\\
&=&\displaystyle\laplace{\left(\left(\frac{p}{2}\cdot t+\frac{q}{2}\right)\cdot \sin(t)-\frac{q}{2}\cdot t\cdot \cos(t) \right)}\\ \end{array}\]
Dit laat zien dat
\[\mathcal{L}^{-1}\left(\dfrac{p\cdot s+ q }{(s^2+1)^2}\right) =\frac{p\cdot t+q}{2}\cdot \sin(t)-\frac{q\cdot t}{2}\cdot\cos(t) \]
Voor #m\gt 2# kunnen we net zo te werk gaan, waarbij we eerst de regel voor de afgeleide in het frequentie-domein gebruiken om #\laplace{\left(t^{m-1}\cdot \cos(t)\right)}# en #\laplace{\left(t^{m-1}\cdot \sin(t)\right)}# te bepalen.
Later zullen we zien dat de inverse Laplace-getransformeerde van een product van twee functies op het frequentie-domein te berekenen is met behulp van een zogeheten convolutie. Dit geeft een andere methode om #\mathcal{L}^{-1}\left(\frac{p\cdot s + q}{(s^2+1)^m}\right)# te bepalen.
Het feit dat #\mathcal{L}^{-1}y# de som van de inverse Laplace-getransformeerde van de termen van de breuksplitsing is, volgt natuurlijk uit de lineariteit van #\mathcal{L}^{-1}#. De overige stappen in de berekening berusten allemaal op eerder genoemde eigenschappen van de Laplace-transformatie.
Bereken de inverse Laplace-transformatie van de functie
\[ y(s) = {{1}\over{s^4-s^3}}\]
#\mathcal{L}^{-1}(y)(t) =# #{{2\cdot \euler^{t}-t^2-2\cdot t-2}\over{2}}#
Om de oplossing te vinden bepalen we eerst de breuksplitsing van #y(s)#:
\[\begin{array}{rcl}
\displaystyle y(s) &=&\displaystyle {{1}\over{s^4-s^3}}\\
&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{functievoorschrift voor }y}\\
&=&\displaystyle {{1}\over{\left(s-1\right)\cdot s^3}}\\
&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{noemer ontbonden in irreducibele factoren}}\\
&=&\displaystyle -{{1}\over{s}}-{{1}\over{s^2}}-{{1}\over{s^3}}+{{1}\over{s-1}}\\
&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{breuk gesplitst}}\\
\end{array}\]
We gebruiken nu de lineariteit van # \mathcal{L}^{-1}#:
\[ \begin{array}{rcl} \mathcal{L}^{-1}(y) &=&\displaystyle \mathcal{L}^{-1}\left(-{{1}\over{s}}-{{1}\over{s^2}}-{{1}\over{s^3}}+{{1}\over{s-1}}\right)\\
&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{hierboven gevonden functievoorschrift voor }y}\\
&=&\displaystyle - \mathcal{L}^{-1} \left({{1}\over{s}}\right)- \mathcal{L}^{-1} \left({{1}\over{s^2}}\right)- \mathcal{L}^{-1} \left({{1}\over{s^3}}\right)+ \mathcal{L}^{-1} \left({{1}\over{s-1}}\right) \\
&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{lineariteit van de inverse Laplace-transformatie}}\\
&=&\displaystyle - \left(1\right)- \left(t\right)- \left({{t^2}\over{2}}\right)+ \left(\euler^{t}\right) \\
&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{rekenregel \( \mathcal{L}^{-1}\left(\dfrac{p\cdot s+ q }{(s-a)^2+b^2}\right)=\e^{a\cdot t}\cdot\left(p\cdot \cos(b\cdot t)+ \frac{q+p\cdot a}{b} \cdot\sin(b\cdot t)\right)\)}}\\
&=& \displaystyle {{2\cdot \euler^{t}-t^2-2\cdot t-2}\over{2}}
\end{array}\]
De inverse Laplace-transformatie
