Uniciteit van oplossingen van lineaire eerste-orde GDV's

Differentiaalvergelijkingen: Lineaire eerste-orde differentiaalvergelijkingen

Uniciteit van oplossingen van lineaire eerste-orde GDV's

Zoals bekend hebben lineaire GDV's van eerste orde de volgende vorm, waarbij \(a(t)\), \(b(t)\) en \(f(t)\) functies zijn met #a(t)\ne0#: \[a(t)\cdot \frac{\dd y}{\dd t}+b(t)\cdot y=f(t)\] Ook is bekend dat de vergelijking homogeen heet als \(f(t)=0\). De functies \(a(t)\) en \(b(t)\) heten coëfficiënten en #f(t)# de inhomogene term. Wanneer deze coëfficiënten constant zijn, dan kan de algemene oplossing in termen van standaardfuncties uitgedrukt worden.

We mogen aannemen dat de coëfficiënt #a(t)# ongelijk aan nul (dat wil zeggen: de constante functie #0#) is. Anders hebben we immers te maken met een eerste-orde vergelijking. Daarom kunnen we delen door #a(t)#. In de vergelijking die dan ontstaat, is de coëfficiënt van #y'# gelijk aan #1#. We zeggen in dat geval dat de vergelijking de standaardvorm heeft.

Uniciteit van specifieke oplossingen van lineaire eerste-orde differentiaalvergelijkingen

Laat #t_0# een punt zijn in een open interval #\ivoo{c}{d}# (dat wil zeggen: #c\lt t_0\lt d#) en laat \(p\) en \(q\) continue functies zijn op dit interval. Dan heeft het beginwaardeprobleem \[ y' + p(t)\cdot y = q(t), \phantom{xxx}\phantom{xx}y(t_0) = \alpha\]waarbij #\alpha# een willekeurig getal is, een unieke oplossing die gedefinieerd is op het hele interval #\ivoo{c}{d}#.

De grenzen #c# en #d# mogen gelijk aan #-\infty#, respectievelijk #\infty#, zijn.

Een gevolg van de stelling is dat de algemene oplossing van een lineaire eerste-orde GDV met de aangegeven eigenschappen één vrije parameter (integratieconstante) heeft. In termen van lineaire algebra: de oplossingsverzameling is #1#-dimensionaal.

Een zeer eenvoudig voorbeeld is #y'=q(t)#, waarbij #q# een continue functie op een open interval #\ivoo{c}{d}# rond #0# is. Een particuliere oplossing is te vinden door het rechter lid te primitiveren (een primitieve bestaat omdat #q# continu is). De bijbehorende homogene vergelijking heeft als algemene oplossing #y= C#. Dit is direct in te zien door te primitiveren. Maar we kunnen dit feit ook uit de stelling afleiden: Laat #y# een willekeurige oplossing van de homogene GDV #y'=0# zijn. Kies #\alpha=y(0)#. De stelling laat zien dat er precies één functie #u# is met #u'=0# en #u(0)=\alpha#. Zowel #y# als de constante functie #\alpha# voldoen aan deze voorwaarden. Hieruit volgt #y=u=\alpha#. Dit laat zien dat elke oplossing van de homogene GDV de vorm #C# heeft. De conclusie is dat, als #Q(t)# een primitieve van #q(t)# is, de algemene oplossing van de oorspronkelijke GDV, #y'=q(t)#, is:

\[ y(t)=Q(t)+C\]

Deze oplossing ligt inderdaad uniek vast als we #y(0)=\alpha# specificeren: dan geldt \(y(t) = Q(t)+\alpha-Q(0)\). De oplossing is gedefinieerd op het hele interval #\ivoo{c}{d}#.

Het bewijs valt buiten het bestek van deze cursus. Voor het speciale geval #y'=q(t)# volgt de stelling uit bekende stellingen over integratie.

Bekijk het beginwaardeprobleem \[\frac{\dd y}{\dd x}+{{6\cdot \cos \left(4\cdot x\right)}\over{x+1}}\cdot y={{6\cdot \e^{2\cdot x}}\over{x-3}},\qquad y(5)=7\] Gebruik de Uniciteit van de oplossing van een lineaire eerste-orde GDV om het geldigheidsinterval van het beginwaardeprobleem te bepalen.

Voer het interval in het antwoordveld in met gebruikmaking van de intervalknoppen onder de tab functie van het invoerpaneel. Ook het symbool #\infty# kan gevonden worden onder deze tab van het paneel.

geldigheidsinterval = \(\ivoo{3}{\infty}\)

De standaardvorm van een lineaire eerste orde beginwaardeprobleem is \[\frac{\dd y}{\dd x}+p(x)\cdot y=q(x),\qquad y(x_0)=\alpha\] De Uniciteit van de oplossing van een lineaire eerste-orde GDV zegt dat de oplossing voor het bovengenoemde beginwaardeprobleem bestaat en uniek is op het grootste open interval \(\ivoo{c}{d}\) dat \(x_0\) bevat en waarop zowel \(p(x)\) als \(q(x)\) continu zijn. Dit is het gevraagde geldigheidsinterval.

In dit geval geldt \[\begin{array}{rcl}\displaystyle p(x)&=&\displaystyle {{6\cdot \cos \left(4\cdot x\right)}\over{x+1}}\\&&\text{en}\\ \displaystyle q(x)&=&\displaystyle {{6\cdot \e^{2\cdot x}}\over{x-3}}\end{array}\] We merken het volgende op met betrekking tot de continuïteit van \(p\) en \(q\).

De functie \(p(x)\) is continu op de twee open intervallen \(\left(-\infty,-1\right)\) and \(\left(-1,\infty\right)\) (oftewel: het is niet gedefinieerd in \(x=-1\) en daarbuiten continu).

De functie \(q(x)\) is continu op de twee open intervallen \(\ivoo{-\infty}{3}\) and \(\ivoo{3}{\infty}\) (oftewel: het is niet gedefinieerd in \(x=3\) en daarbuiten continu).

Bijgevolg zijn \(p(x)\) en \(q(x)\) gelijktijdig continu op de drie open intervallen \(\ivoo{-\infty}{-1}\), \(\ivoo{-1}{3}\), and \(\ivoo{3}{\infty}\).

Rest ons om te bepalen welke van deze intervallen de beginwaarde #x_0# bevat van het beginwaardeprobleem. Aangezien \(x_0=5\) en \(5\in\ivoo{3}{\infty}\) volgt dat het geldigheidsinterval gelijk is aan \(\ivoo{3}{\infty}\).

Nieuw voorbeeld