Differentiaalvergelijkingen: Het begrip differentiaalvergelijking
Het begrip differentiaalvergelijking
We beginnen met een omschrijving van het object van studie in dit hoofdstuk.
Differentiaalvergelijking
Een differentiaalvergelijking is een vergelijking waarvan de oplossing een functie (of meerdere functies) is. Naast een of meer onbekende functies kunnen er een of meer afgeleiden van die functies in de differentiaalvergelijking voorkomen.
- Gaat het bij een differentiaalvergelijking om een of meer functies van één (onafhankelijke) variabele, dan spreekt men van een gewone differentiaalvergelijking, afgekort: GDV.
- Gaat het om functies van twee of meer variabelen, en zijn de afgeleiden dus partiële afgeleiden, dan spreekt men van een partiële differentiaalvergelijking, afgekort: PDV.
Primitiveren van de functie #g# is hetzelfde als het oplossen van de differentiaalvergelijking\[y'=g\]Vaak schrijven we ook #y'(t) =g(t)# voor deze vergelijking. De algemene oplossing wordt, zoals bekend uit het hoofdstuk Integratie, geschreven als \[\int g(t)\,\dd t\]
Deze uitdrukking staat voor een differentieerbare functie #y(t)# met afgeleide #g(t)# en is tot op een constante na bepaald.
Als bijvoorbeeld #g(t)=1#, de constante functie #1#, dan is #y(t) = t# een oplossing van de differentiaalvergelijking #y'(t)=1# en heeft iedere oplossing de vorm #t+C#, waarbij #C# een constante is.
De integraal #\int g(t)\,\dd t# geeft dus de algemene oplossing van de differentiaalvergelijking #y'(t) =g(t)# aan; dit is een verzameling oplossingen die gegeven wordt door een functievoorschrift waarin één of meerdere parameters (integratieconstanten geheten) voorkomen, zoals #C# in bovenstaand voorbeeld.
Partiële differentiaalvergelijkingen komen niet aan bod in dit hoofdstuk: er worden vrijwel alleen differentiaalvergelijkingen bestudeerd met één onbekende functie van één variabele. In dit hoofdstuk is die variabele vaak de tijd; die GDVs worden ook wel dynamische systemen genoemd.
Het gaat er bij vergelijkingen altijd om oplossingen (of tenminste nuttige eigenschappen van de oplossingen) te vinden. In het algemeen worden die gevonden door de vergelijking te herschrijven tot een eenvoudiger differentiaalvergelijking, een stelsel vergelijkingen (zo mogelijk zelfs zonder afgeleiden). Net als in het geval van gewone vergelijkingen is het daarbij handig om aan te kunnen geven dat twee vergelijkingen dezelfde oplossing hebben.
Twee GDVs in dezelfde afhankelijke onbekenden en onafhankelijke variabelen heten equivalent als ze dezelfde oplossing hebben.
\[y' - \dfrac{1}{3} y = 0 \]
Welke vraag wordt beantwoord door het oplossen van deze differentiaalvergelijking?
Vind een functie \(y=f(x)\) zodat haar groei \(\frac{\dd y}{\dd x}\), namelijk de eerste-orde afgeleide \(f'(x)\), gelijk is aan een derde van de waarde #f(x)# van die functie.
In ons concrete voorbeeld is de onafhankelijke variabele #x#, de tijd, en geeft de onbekende functie \(y = f(x)\), ook wel de afhankelijke variabele genoemd, aan hoe groot de populatie is. De GDV drukt wiskundig de intuïtie uit dat de groeisnelheid van de populatie hoger is naarmate de bevolking toeneemt.
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.
