Richtingsvelden

Differentiaalvergelijkingen: Richtingsvelden en oplossingskrommen

Richtingsvelden

Dynamische systemen van de eerste orde en de eerste graad vormen een belangrijke klasse van GDV's. We zullen zien dat je ook zonder ingewikkelde berekeningen vaak al een idee kunt krijgen over de vorm van de grafieken van oplossingen van een differentiaalvergelijking.

Raaklijnen aan grafieken van oplossingen van eerste-orde GDVs van de eerste graad

De oplossingen van een GDV van de vorm \[\frac{\dd y}{\dd t}=\varphi(t,y)\] kunnen als volgt meetkundig geïnterpreteerd worden.

Neem een punt \(\rv{a,b}\) en stel dat \(y(t)\) een oplossing is van de GDV waarvan de grafiek door \(\rv{a,b}\) gaat. De raaklijn aan de grafiek van \(y\) in het punt \(\rv{a,b}\) heeft dan de vergelijking \[ y=b+\varphi(a,b)\cdot(t-a)\]

Voor deze functie \(y\) geldt dat \[y(a)=b\] en dat \[y'(a)=\frac{\dd y}{\dd t}(a)=\varphi\bigl(a,y(a)\bigr)=\varphi(a,b)\]Aangezien #y'(a)# de helling van de raaklijn door #\rv{a,b}# aan de grafiek van #y# is, moet de raaklijn voldoen aan een vergelijking van de vorm \( y=\varphi(a,b)\cdot t +c\) voor een constante #c#. Nu kan #c# gevonden worden uit de vergelijking \(b=\varphi(a,b)\cdot a +c\), die uitdrukt dat het punt #\rv{a,b}# op de raaklijn ligt. De oplossing is #c=b-\varphi(a,b)\cdot a#. Vullen we deze waarde voor in #c# in de vergelijking voor de lijn, dan vinden we \[y=b+\varphi(a,b)\cdot(t-a)\]

De raaklijn in een punt \(\rv{a,b}\) van de grafiek van een oplossing \(y\) is dus bekend, ook als de oplossing #y# zelf niet bekend is.

Richtingsveld en oplossingskromme

Als we nu in het punt \(\rv{a,b}\) een klein stukje (segment) van die raaklijn tekenen, dan zal dat lijnstukje goed lijken op de oplossing die door \(\rv{a,b}\) gaat. Zo'n segment heet een raaklijnelement of kortweg lijnelement in het punt \(\rv{a,b}\) van het \(t,y\)-vlak.

Vervolgens kunnen we voor veel verschillende punten \(\rv{a,b}\) in het \(t,y\)-vlak de lijnelementen tekenen. Een tekening met een aantal lijnelementen heet een lijnelementenveld of richtingsveld van de GDV. Meestal wordt hiervoor een regelmatig rooster van punten gebruikt, maar dat hoeft niet.

Door nu een vloeiende kromme te tekenen die in elk punt raakt aan de lijnelementen krijgen we een zogenaamde integraalkromme. Dit is dus de grafiek van een oplossing van de GDV. Zo'n kromme heet ook wel oplossingskromme.

De benadering van de oplossingskromme met lijnelementen is gebaseerd op het feit dat de grafiek van een differentieerbare functie, die dus in alle of bijna alle punten een glad verloop heeft, steeds meer op een rechte lijn lijkt als we sterker op een punt inzoomen. Die lijn is de raaklijn aan de grafiek in het betreffende punt.

Hieronder is de grafiek van een differentieerbare functie \(f(t)\) getekend, met daarbij ook de raaklijn in het punt \(\rv{a,f(a)}\). Vlak in de buurt van dit punt zijn de grafiek en de raaklijn nauwelijks van elkaar te onderscheiden.

raaklijn in een punt van de grafiek

Als illustratie hiervan is het rechthoekje rond het punt \(\rv{a,f(a)}\) in bovenstaande figuur hieronder nog eens vergroot weergegeven.

inzoomen op een raaklijn in een punt

De vergelijking van de raaklijn in het punt \(\rv{a,f(a)}\) is gelijk aan \[y=f(a)+f'(a)\cdot(t-a).\] Voor \(t\) in de buurt van \(a\) geldt dus: \[f(t)\approx f(a)+ f'(a)\cdot(t-a).\] Dit betekent ook dat als we de functiewaarde en afgeleiden voor een zekere \(t\) kennen, we ook de functiewaarden op kleine afstand \(\delta\) kunnen benaderen met de volgende formule: \[f(t+\delta)\approx f(t)+ f'(t)\cdot \delta\] Hoe dichter in de buurt van \(t\) (ofwel hoe kleiner de tijdstap \(\delta\)), des te beter de schatting van de functiewaarde van #f# in #t+\delta#.

Hieronder staat het richtingsveld getekend voor de differentiaalvergelijking \(\displaystyle\frac{\dd y}{\dd t}=r\cdot y\) met \(r=-0.7\) (dus \(\varphi(t,y)=-0.7y\)). Ook zijn twee integraalkrommen in de figuur opgenomen.

lijnelementenveld

Het richtingsveld ontstaat door in elk roosterpunt in het \(t,y\)-vlak de richtingscoëfficiënt van de oplossing te tekenen als een klein, gecentreerd lijnstukje. De oplossing waarvoor \(y(2)=1\), heeft in \(t=2\) een afgeleide \(y'(2) =r \cdot y(2)=r=-0.7\) In het punt \(\rv{2,1}\) tekenen we dus een lijnstukje met helling \(-0.7\). Zo behandelen we ook alle andere roosterpunten. Merk op dat in dit voorbeeld het richtingsveld alleen van \(y\) en niet van \(t\) afhangt. Een consequentie is dat wanneer het plaatje horizontaal verschoven wordt, de tekening niet verandert. Dit is een eigenschap van alle tijdsinvariante (autonome) differentiaalvergelijkingen, waar we later op ingaan.

In dit voorbeeld hebben alle punten op een horizontale lijn steeds lijnelementen met dezelfde richting. Zo'n verzameling van punten in het vlak waarin de lijnelementen dezelfde richting hebben noemt men een isocliene. De punten in het vlak waarin de lijnelementen horizontale richting hebben, vormen de verzameling van nul-isoclienen. Isoclienen zijn soms handig bij het werken met richtingsvelden en het beschouwen van integraalkrommen.

In het richtingsveld van een GDV kan een lijnelement verticaal lopen. De helling is dan #\infty#. Een voorbeeld is het lijnelement in de oorsprong van #y'(x)=\frac{1}{\sqrt{|x|}}#.

Een richtingsveld van een gegeven differentiaalvergelijking van de eerste orde en de eerste graad en integraalkrommen, die berekend zijn met een numerieke methode, geven vaak een goede indruk hoe oplossingen er uit zien en wat voor gedrag zij vertonen.

Hieronder staat een interactieve versie van het richtingsveld van de differentiaalvergelijking van logistische groei met een sigmoïde (een functie als #\frac{1}{1+\e^{-t}}#, waarvan de grafiek de vorm van de letter S heeft) als voorbeeld van één van de vele mogelijke oplossingskrommen.

Versleep het punt \(P\) om verschillende oplossingskrommen te zien.

Je kunt instellingen wijzigen en dan met de update knop de nieuwe situatie in beeld krijgen.

Nieuw voorbeeld