Hoofdstuk 4: Kansverdelingen: Kansvariabelen
Verwachtingswaarde van een kansvariabele
- De verwachtingswaarde
- De variantie of standaardafwijking
Definitie
De verwachtingswaarde of het gemiddelde van een kansvariabele #X# is het centrum van de kansverdeling.
Als we #X# een zeer groot aantal keren observeren, dan is het erg waarschijnlijk dat het steekproefgemiddelde van die waarnemingen dicht in de buurt van de verwachte waarde ligt.
Notatie
\[\mathbb{E}[X]\]
Alternatieven: #\mu# of #\mu_X#
Verwachtingswaarde van een discrete kansvariabele
Laat #X# een discrete kansvariabele zijn met kansverdeling #f(x)# en bereik #R(X)#.
In dat geval wordt de verwachtingswaarde van #X# als volgt berekend:
\[\mathbb{E}[X]=\sum_{\text{alle }x\text{ in }R(X)}x\cdot f(x)\]
Waarbij #f(x)=\mathbb{P}(X=x)#.
Stel je een kansexperiment voor waarbij we één keer een dobbelsteen gooien. Laat #X# het aantal gegooide ogen zijn.
Bereken de verwachtingswaarde van #X#.
De kansverdeling van #X# is:
\begin{array}{c|cccccc}
x&1&2&3&4&5&6\\
\hline
\mathbb{P}(X = x)&\cfrac{1}{6}&\cfrac{1}{6}&\cfrac{1}{6}&\cfrac{1}{6}&\cfrac{1}{6}&\cfrac{1}{6}\\
\end{array}
De verwachtingswaarde van #X# wordt dus als volgt berekend:
\[\begin{array}{rcl}
\mathbb{E}[X]&=&\sum\limits_{\text{all }x\text{ in }R(X)}x\cdot f(x)\\\\
&=&1\cdot \mathbb{P}(X=1)+2\cdot \mathbb{P}(X=2) +\ldots+ 6 \cdot \mathbb{P}(X=6)\\\\
&=&1\cdot \cfrac{1}{6}+2\cdot \cfrac{1}{6}+3\cdot \cfrac{1}{6}+4\cdot \cfrac{1}{6}+5\cdot \cfrac{1}{6}+6\cdot \cfrac{1}{6}\\\\
&=& 3.5\\
\end{array}\]
#\phantom{0}#
Verwachtingswaarde van een continue kansvariabele
De verwachtingswaarde van een continue kansvariabele wordt berekend met behulp van integraalrekening. Dit wordt niet in deze cursus behandeld.
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.
