Hoofdstuk 4: Kansverdelingen: Kansvariabelen
Variantie van een kansvariabele
Definitie
De variantie van een kansvariabele #X# is de gemiddelde kwadratische afwijking van de verwachtingswaarde.
#\phantom{0}#
De standaardafwijking van #X# is de positieve vierkantswortel van de variantie.
Notatie
\[\sigma^2\]
Alternatieven: #\sigma_X^2# or #Var[X]#
\[\sigma\]
Alternatieven: #\sigma_X# or #SD[X]#
Variantie en standaardafwijking van een discrete kansvariabele
Laat #X# een discrete kansvariabele zijn met een verwachtingswaarde #\mathbb{E}[X]#.
Dan wordt de variantie van #X# als volgt berekend:
\[\sigma^2=\mathbb{E}[(X - \mathbb{E}[X])^2]\]
Een alternatieve vorm van de bovenstaande formule die het rekenwerk makkelijker maakt is:
\[\sigma^2=\mathbb{E}[X^2] - (E[X])^2\]
Om de standaardafwijking te berekenen, trek je de positieve vierkantswortel uit de variantie:
\[\sigma=\sqrt{\sigma^2}\]
Gegeven is de volgende kansverdeling van een discrete kansvariabele #X#:
| #x# | #0# | #1# | #2# | #3# |
| #\mathbb{P}(X=x)# | #0.3# | #0.1# | #0.4# | #0.2# |
Bereken de variantie en de standaardafwijking van #X#.
Om de variantie van #X# te berekenen, gebruiken we de volgende formule
\[\sigma^2=\mathbb{E}[X^2] - (E[X])^2\]
Bereken eerst de verwachtingswaarde #\mathbb{E}[X]#:
\[\begin{array}{rcl}
\mathbb{E}[X]&=&\sum\limits_{\text{alle }x\text{ in }R(X)}x\cdot f(x)\\\\
&=&0 \cdot \mathbb{P}(X=0) + 1 \cdot \mathbb{P}(X=1) +2 \cdot \mathbb{P}(X=2) +3 \cdot \mathbb{P}(X=3) \\\\
&=&0 \cdot 0.3 + 1 \cdot 0.1 + 2 \cdot 0.4 + 3 \cdot 0.2\\\\
&=& 1.5\\
\end{array}\]
Bereken #\mathbb{E}[X^2]#:
\[\begin{array}{rcl}
\mathbb{E}[X^2]&=&\sum\limits_{\text{alle }x\text{ in }R(X)}x^2\cdot f(x)\\\\
&=&0^2 \cdot \mathbb{P}(X=0) + 1^2 \cdot \mathbb{P}(X=1) +2^2 \cdot \mathbb{P}(X=2) +3^2 \cdot \mathbb{P}(X=3) \\\\
&=&0^2 \cdot 0.3 + 1^2 \cdot 0.1 + 2^2 \cdot 0.4 + 3^2 \cdot 0.2\\\\
&=& 3.5\\
\end{array}\]
Bereken de variantie #\sigma^2#:
\[\begin{array}{rcl}
\sigma^2 &=& \mathbb{E}[X^2] - (E[X])^2\\\\
&=& 3.5 - 1.5^2\\\\
&=& 1.25
\end{array}\]
Om de standaardafwijking te berekenen, trekken we de positieve vierkantswortel uit de variantie:
\[\sigma = \sqrt{\sigma^2} = \sqrt{1.25} = 1.118\]
#\phantom{0}#
Variantie en standaardafwijking van een continue kansvariabele
De variantie van een continue kansvariabele wordt berekend met behulp van integraalrekening. Dit wordt niet in deze cursus behandeld.
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.
