Hoofdstuk 4: Kansverdelingen: Veelvoorkomende continue kansverdelingen
De normale kansverdeling
Normale Kansverdeling
Als #X# een willekeurig gekozen waarde uit een populatie met een #N(\mu,\sigma)# verdeling is, dan is #X# een kansvariabele met een #N(\mu, \sigma)# kansverdeling.
In dat geval geldt voor een elk getal #k# dat:
- #\mathbb{P}(X \leq k)# het gebied links van #k# is
- #\mathbb{P}(X \gt k)# het gebied rechts van #k# is
Rekenregels
Voor elke continue kansverdeling gelden de volgende rekenregels:
- #\mathbb{P}(X=k)=0#
- #\mathbb{P}(X\leq k)=\mathbb{P}(X\lt k)#
- #\mathbb{P}(X\geq k)=\mathbb{P}(X\gt k)#
- #\mathbb{P}(X\gt k)= 1 - \mathbb{P}(X \leq k)#
- #\mathbb{P}(X\lt k)= 1 - \mathbb{P}(X \geq k)#
Bovendien geldt voor elke #2# getallen #j# en #k# (met #j<k#) de volgende rekenregel:
- #\mathbb{P}(j \leq X \leq k) = \mathbb{P}(X \leq k) - \mathbb{P}(X \leq j)#
#\phantom{0}#
Berekening van kansen voor een normale verdeling met statistische software
Laat #X# een normale kansvariabele zijn met parameters #\mu# en #\sigma#.
Om cumulatieve kansen voor een normale verdeling in Excel te berekenen, gebruiken we de volgende functie:
NORM.DIST(x, mean, standard_dev, cumulative)
- x: De waarde waarvoor je de kans wilt berekenen.
- mean: Het gemiddelde van de verdeling.
- standard_dev: De standaardafwijking van de verdeling.
- cumulative: Een logische waarde die de vorm van de functie bepaalt.
- TRUE - gebruik van de cumulatieve verdelingsfunctie, #\mathbb{P}(X \leq x)#
- FALSE - gebruik van de kansdichtheidsfunctie
Om cumulatieve kansen voor een normale verdeling in R te berekenen, gebruiken we de volgende functie:
pnorm(q, mean, sd, lower.tail)
- q: De waarde waarvoor je de kans wilt berekenen.
- mean: Het gemiddelde van de verdeling.
- sd: De standaarddeviatie van de verdeling.
- lower.tail: Als TRUE (standaard), zijn kansen #\mathbb{P}(X \leq x)#, anders zijn kansen #\mathbb{P}(X \gt x)#.
Er bestaan een aantal manieren om #\mathbb{P}(X \lt 79)# te berekenen. Klik op één van de panelen om de desbetreffende oplossing te bekijken.
Aangezien de normale verdeling continu is, geldt de volgende rekenregel:
\[\mathbb{P}(X \lt 79)=\mathbb{P}(X \leq 79)\]
Om #\mathbb{P}(X \leq 79)# in Excel te berekenen, gebruiken we de volgende functie:
NORM.DIST(x, mean, standard_dev, cumulative)
- x: De waarde waarvoor je de kans wilt berekenen.
- mean: Het gemiddelde van de verdeling.
- standard_dev: De standaardafwijking van de verdeling.
- cumulative: Een logische waarde die de vorm van de functie bepaalt.
- TRUE - gebruik van de cumulatieve verdelingsfunctie, #\mathbb{P}(X \leq x)#
- FALSE - gebruik van de kansdichtheidsfunctie
Dus, om #\mathbb{P}(X \leq 79)# te berekenen, voeren we de volgende opdracht uit:
\[= \text{NORM.DIST}(79, 100, 15, \text{TRUE})\]
Dit geeft:
\[\mathbb{P}(X \lt 79) = \mathbb{P}(X \leq 79) =0.081\]
Aangezien de normale verdeling continu is, geldt de volgende rekenregel:
\[\mathbb{P}(X \lt 79)=\mathbb{P}(X \leq 79)\]
Om #\mathbb{P}(X \leq 79)# in R te berekenen, gebruiken we de volgende functie:
pnorm(q, mean, sd, lower.tail)
- q: De waarde waarvoor je de kans wilt berekenen.
- mean: Het gemiddelde van de verdeling.
- sd: De standaarddeviatie van de verdeling.
- lower.tail: Als TRUE (standaard), zijn kansen #\mathbb{P}(X \leq x)#, anders zijn kansen #\mathbb{P}(X \gt x)#.
Dus, om #\mathbb{P}(X \leq 79)# te berekenen, voeren de volgende opdracht uit:
\[\text{pnorm}(q = 79, mean = 100, sd = 15, lower.tail = \text{TRUE})\]
Dit geeft:
\[\mathbb{P}(X \lt 79) = \mathbb{P}(X \leq 79) =0.081\]
#\phantom{0}#
Kwantielen van een normale verdeling
Het #\boldsymbol{p^{de}}# kwantiel van een kansverdeling is het getal #q# zodat #\mathbb{P}(X\leq q)=p#.
Het vinden van het #p^{de}# kwantiel voor een bepaalde #p# in #(0,1)# is het omgekeerde van het vinden van een kans.
Kwantielen van een normale verdeling berekenen met Statistische Software
Laat #X# een normale kansvariabele zjin met parameters #\mu# en #\sigma#.
Om het getal #q# zodat #\mathbb{P}(X \leq q)=p# in Excel te berekenen, gebruiken we de volgende functie:
NORM.INV(probability, mean, standard_dev)
- probability: De kans waarvoor je de waarde wilt berekenen.
- mean: Het gemiddelde van de verdeling.
- standard_dev: De standaarddeviatie van de verdeling.
Om het getal #q# zodat #\mathbb{P}(X \leq q)=p# in R te berekenen, gebruiken we de volgende functie:
qnorm(p, mean, sd, lower.tail)
- p: De kans waarvoor je de waarde wilt berekenen.
- mean: Het gemiddelde van de verdeling.
- sd: De standaardafwijking van de verdeling.
- lower.tail: Als TRUE (standaard), zijn kansen #\mathbb{P}(X \leq x)#, anders zijn kansen #\mathbb{P}(X \gt x)#.
Vind het getal #q# zodat #\mathbb{P}(X \leq q) = 0.64#. Rond je antwoord af naar #2# decimalen.
#q=106.45#
Er bestaan een aantal manier om het getal #q# zodat #\mathbb{P}(X \leq q) = 0.64# te berekenen. Klik op één van de panelen om de desbetreffende oplossing te bekijken.
Om het getal #q# zodat #\mathbb{P}(X \leq q)=0.64# in Excel te berekenen, gebruiken we de volgende functie:
NORM.INV(probability, mean, standard_dev)
- probability: De kans waarvoor je de waarde wilt berekenen.
- mean: Het gemiddelde van de verdeling.
- standard_dev: De standaarddeviatie van de verdeling.
Dus, om het getal #q# zodat #\mathbb{P}(X \leq q) = 0.64# te berekenen, voeren we de volgende opdracht uit:
\[=\text{NORM.INV}(0.64, 100, 18)\]
Dit geeft:
\[q = 106.45\]
Om het getal #q# zodat #\mathbb{P}(X \leq q)=0.64# in R te berekenen, gebruiken we de volgende functie:
qnorm(p, mean, sd, lower.tail)
- p: De kans waarvoor je de waarde wilt berekenen.
- mean: Het gemiddelde van de verdeling.
- sd: De standaardafwijking van de verdeling.
- lower.tail: Als TRUE (standaard), zijn kansen #\mathbb{P}(X \leq x)#, anders zijn kansen #\mathbb{P}(X \gt x)#.
Dus, om het getal #q# zodat #\mathbb{P}(X \leq q) = 0.64# te berekenen, voeren we de volgende opdracht uit:
\[\text{qnorm}(p = 0.64, mean = 100, sd = 18, lower.tail = \text{TRUE})\]
Dit geeft:
\[q = 106.45\]
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.
