Hoofdstuk 5: Steekproeven: Steekproefverdelingen
Steekproefverdeling van de Steekproefproportie
Een type variabele die gewoonlijk wordt bestudeerd in de statistiek is de binaire variabele.
#\phantom{0}#
Binaire Variable
Definitie
Een binaire of dichotomische variabele is een categorische variabele die alleen #2# mogelijke waarden kan aannemen.
Voorbeelden
- Waar/onwaar
- Succes/mislukking
- Ja/nee
- Aan/uit
#\phantom{0}#
Het gemiddelde van een binaire variabele is wiskundig gelijk aan de proportie.
#\phantom{0}#
Proportie
Definitie
In de statistiek verwijst een verhouding naar het deel van een groep die een bepaalde eigenschap bezit.
De bevolking en steekproefproportie worden aangeduid #\pi# en #\hat{p}# resp.
Formule
#\text{proportie}=\cfrac{\text{# individuen met eigenschap}} {\text {totaal aantal individuen}} #
#\phantom{0}#
Bij het gebruik van een steekproefproportie om een populatie proportie te schatten, kan de steekproefverdeling van de steekproefproportie worden gebruikt om te bepalen hoeveel inschattingsfout redelijkerwijs te verwachten is.
#\phantom{0}#
Steekproefverdeling van de Steekproefproportie
De steekproefverdeling van de steekproefproportie is de kansverdeling van de steekproefproporties van alle mogelijke steekproeven van een bepaalde grootte #n# die uit een populatie kunnen worden getrokken.
Het gemiddelde van de verdeling van de steekproefproporties wordt de verwachte waarde van de steekproefproportie genoemd en wordt aangeduid als #\mu_{\hat{t}}#.
De standaardafwijking van de verdeling van steekproefproporties wordt de standaardfout van de steekproefproportie genoemd en wordt aangeduid met #\sigma_{\hat{t}}#. De standaardfout is een maat voor hoeveel verschil te verwachten valt tussen een steekproefproportie #\hat{p}# en de bevolkingsproportie #\pi#.
Voorwaarden voor Normaliteit
Voor elke populatie waarvan een proportie #\pi# een eigenschap bezit, mag de steekproefverdeling van de steekproefproportie van grootte #n# ongeveer normaal genoemd worden als aan beide voorwaarden is voldaan:
- We verwachten op zijn minst #10# positieve gevallen: # n \cdot \pi \geq 10 #
- We verwachten op zijn minst #10# negatieve gevallen: # n \cdot (1- \pi) \geq 10#
Als aan beide voorwaarden is voldaan, mag de steekproefverdeling van de steekproefproportie ongeveer normaal genoemd worden met de volgende parameters:
- #\mu_{\hat{p}}=\pi#
- #\sigma_{\hat{p}}=\sqrt{\cfrac{\pi \cdot(1-\pi)}{n}}#
\[\hat{p} \sim N(\pi, \sqrt{\cfrac{\pi \cdot (1-\pi)}{n}})\]
#\mu_{\hat{p}} = 0.30#
Onderzoek of de steekproefverdeling van de steekproefproportie ongeveer normaal verdeeld is:
- #n\cdot \pi = 120 \cdot 0.30 = 36 \geq 10#
- #n\cdot (1-\pi) = 120 \cdot (1-0.30) = 84 \geq 10#
Aangezien aan beide voorwaarden is voldaan, is de verwachtingswaarde van de steekproefproportie, #\mu_{\hat{p}}#, gelijk aan de bevolkingsproportie #\pi#:
\[\mu_{\hat{p}} = \pi= 0.30\]
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.