Het Berekenen van de Toetsingsgrootheid en het Maken van een Besluit

Hoofdstuk 7: Hypothese toetsen: Introductie in Hypothese Toetsen (Kritiek Gebied benadering)

Het Berekenen van de Toetsingsgrootheid en het Maken van een Besluit

Zodra het kritiek gebied is bepaald, is de volgende stap om de gegevens te verzamelen en de toetsingsgrootheid te berekenen.
#\phantom{0}#

Toetsingsgrootheid

Definitie

Een toestingsgrootheid bestaat in het algemeen uit een verhouding. De teller van de verhouding is het verkregen verschil tussen de steekproefwaarde en de veronderstelde populatie parameter.

De noemer van deze ratio is de standaardfout die meet hoeveel verschil wordt verwacht door toeval.

Formule

\[\text{toetsingsgrootheid}=\cfrac{\text{verkregen verschil}}{\text{verwacht verschil}}\]

#\phantom{0}#
Als de waarde van de toetsingsgrootheid binnen het kritische gebied valt, wordt de nulhypothese verworpen. Als de toetsingsgrootheid niet binnen het kritieke gebied valt, wordt de nulhypothese niet verworpen.

De toetsingsgrootheid die wordt gebruikt in een #z#-toets is de #z#-score.
#\phantom{0}#

z-Score

Definitie

Een #\boldsymbol{z}# - score is verkregen door het veranderen van het gemiddelde van een steekproef in een #z#-score met de parameters van de steekproefverdeling van het steefproefgemiddelde.

formules

\[z=\cfrac{\bar{X}-\mu_0}{\sigma_{\bar{X}}}\]

\[\sigma_{\bar{X}}=\cfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\]

#\phantom{0}#

4. Toetsingsgrootheid Berekening en Besluit

Na de afronding van de Zomer Cursus, worden de leerlingen getoetst op hun statistische kennis. Het blijkt dat het gemiddelde cijfer van de #100# studenten die de Zomer Cursus bijwoonden #\bar{X} = 7.0# is.

Dit steekproefgemiddelde wordt vervolgens omgezet in een #z#-score, die als toetsingsgrootheid dient:

\[z=\dfrac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma_{\bar{X}}} = \dfrac{7.0 - 6.5}{0.1} = \dfrac{0.5}{0.1} = 5.00\]

Aangezien #z=5.00 \gt 1.96# valt het steekproefgemiddelde in het kritische gebied en wordt de nulhypothese #H_0:\mu_0=6.5# verworpen.

De universiteit concludeert dan ook dat deelname aan de Zomer Cursus een belangrijke invloed heeft op het gemiddelde cijfer van de studenten.

1. Onderzoeksvraag

Een universiteit wil de effectiviteit van een nieuwe Zomer Cursus toetsen die gericht is op verbetering van de statistische kennis van de leerlingen. Uit voorgaande jaren is bekend dat de bevolking van de studenten op dit moment een gemiddeld cijfer heeft van #\mu=6.5# met een standaardafwijking van #\sigma=1#.

Om de impact van de Zomer Cursus te testen, is een totaal van #n=100# zijn studenten willekeurig geselecteerd voor deelname aan de Zomer Cursus.

2. Onderzoekshypothesen

De nulhypothese moet zeggen dat de Zomer Cursus geen effect heeft op de cijfers van de studenten. Als dit waar is, dan is het gemiddelde cijfer van de studenten die de Zomer Cursus doen gelijk zijn aan de gemiddelde cijfer van de studenten die niet de Zomer Cursus doen.

De alternatieve hypothese dekt gewoon alle andere uitkomsten.

\[\begin{array}{c}
H_0: \mu_{\text{na zomer cursus}}=6.5\\
H_a: \mu_{\text{na zomer cursus}}\neq 6.5\\
\end{array}\]

3. Kritiek Gebied

Als de nulhypothese waar is, moet de Zomer Cursus geen effect hebben op de cijfers van de studenten en de bevolking van de studenten die deelnemen aan de Zomer Cursus zal identiek zijn aan die van de oorspronkelijke bevolking van studenten; dat is, een normale verdeling met #\mu = 6.5# en #\sigma=1#.

Vervolgens is het nodig om alle mogelijke uitkomsten te overwegen voor een steekproef van #n =100# studenten. Dit is de verdeling van de steekproef gemiddelden voor #n=100#. Indien de nulhypothese juist is, dan heeft de verdeling van steekproefgemiddelden de volgende eigenschappen:

#\phantom{0}#

#\mu_{\bar{X}}= \mu_0 = 6.5#
#\sigma_{\bar{X}} = \cfrac{\sigma}{\sqrt{n}}=\cfrac{1}{\sqrt{100}} = 0.1#

Tenslotte wordt de verdeling van het steekproefgemiddelde gebruikt om het kritiek gebied van de proef te bepalen. De universiteit besluit het alfaniveau van de test in te stellen op #\alpha = 0.05#, waardoor het kritiek gebied bestaat uit de extreme #5\%# van de steekproefverdeling.

De grenswaarden voor een #Z#-toets met #\alpha =0.05# zijn #Z = \pm 1.96#. Dit betekent dat het vinden van een #Z#-score van minder dan #-1.96# of groter dan #1.96# zou leiden tot verwerping van de nulhypothese.