Eerder maakten we kennis met de logische operatoren niet, en, en of. Hier behandelen we nog twee belangrijke operatoren.
De implicatie van twee proposities is een propositie die waar is precies als de eerste propositie onwaar is of als de tweede propositie waar is. In alle andere gevallen is de implicatie onwaar.
Implicatie wordt aangegeven met de als ... dan-operator #\rightarrow#. Dus, als #\blue p# en #\blue q# proposities zijn, dan geeft #\blue{ p}\rightarrow \blue{q}# aan dat #\blue p# impliceert #\blue q#.
Voorbeeld
De propositie \(\blue{\textit{"Als}}\) #\blue{\textrm{het regent}}# \(\blue{\textit{dan}}\) #\blue{\textrm{is de grond nat"}}# geldt als de proposities #\blue{\textrm{"Het regent"}}# en #\blue{\textrm{"De grond is nat"}}# beide waar zijn.
De implicatie is ook waar als de propositie #\blue{\textrm{"Het regent"}}# onwaar is.
Operator notatie: #\blue{\textrm{"Het regent"}} \rightarrow \blue{\textrm{"De grond is nat"}}#
Implicaties uiten causaliteit. Zij geven aan dat de waarheid van het eerste deel van de propositie ook betekent dat het tweede deel waar is. In een causaal verband kan het tweede deel nog waar of onwaar zijn als het eerste deel onwaar is. Dit is de reden dat #\blue p \rightarrow \blue q# wordt gedefinieerd om waar te zijn wanneer #\blue p# onwaar is. Meer hierover in de tab Normale taal.
In de definitie gebruiken we de termen 'eerste propositie' en 'tweede propositie'. Dit is niet helemaal juist. Deze manier van kijken naar implicaties kan alleen worden gebruikt als er een propositie wordt geformuleerd in de vorm "als ... dan ...". Als een propositie wordt geformuleerd in de vorm "... als ....", dan is de eerste propositie het gevolg van de tweede.
Kortom, "als #\blue p# dan #\blue q#" en "#\blue q# als #\blue p#" zijn equivalent (wat betekent dat ze altijd dezelfde waarden aannemen; zie hieronder).
We moeten heel voorzichtig zijn bij het gebruik van implicaties. We moeten er namelijk voor zorgen dat we de juiste propositie aanwijzen als de oorzaak en de juiste propositie aanwijzen als het effect. We schrijven altijd "oorzaak #\rightarrow# effect".
Voorbeeld
De proposities #\blue{\textrm{"Als het regent dan is de grond nat"}}# en #\blue{\textrm{"De grond is nat als het regent"}}# kunnen allebei worden geschreven als
#\blue{\textrm{"Het regent" }} \rightarrow\blue{\textrm{ "De grond is nat"}}#.
De proposities #\blue{\textit{"Als } \textrm{de grond nat is } \textit{dan } \textrm{regent het"}}# en #\blue{\textrm{"Het regent}\textit{ als} \textrm{ de grond nat is"}}# kunnen allebei worden geschreven als
#\blue{ \textrm{"De grond is nat" }} \rightarrow \blue{\textrm{ "Het regent"}}#.
De proposities #\blue{\textrm{"Het regent" }} \rightarrow\blue{\textrm{ "De grond is nat"}}# en #\blue{ \textrm{"De grond is nat" }} \rightarrow \blue{\textrm{ "Het regent"}}# hebben fundamenteel een andere betekenis.
In het dagelijks taalgebruik wordt de als ... dan uitspraak vaak een beetje anders geïnterpreteerd dan wanneer het in de wiskunde wordt gebruikt. Wanneer we zeggen #\blue{\textit{"als } p\textit{ dan }q\textrm{"}}#, gaan we ervan uit dat #\blue p# en #\blue q# een of ander causaal verband hebben waardoor #\blue q# waar is omdat #\blue p# waar is.
In de wiskunde hoeft dit niet het geval te zijn: als #\blue q# onwaar is, hebben we alleen nodig dat #\blue p# onwaar is.
Om de wiskundige betekenis te benadrukken, gebruiken voorzichtige mensen vaak uitdrukkingen zoals: "Als #\blue p# waar is, en ik zeg niet dat het waar is, maar stel dat het waar is, dan is #\blue q# ook waar."
Voorbeeld
Denk aan de propositie #\blue{ \textit{"Als}\textrm{ alle appels paarse stippen hebben}\textit{ dan}}# #\blue{\textrm{ hebben alle bananen rode strepen"}}#.
Beide delen van de propositie zijn duidelijk onwaar.
In de wiskunde beschouwen we dit als een implicatie die waar is, aangezien de propositie #\blue{\textrm{"Alle appels hebben paarse stippen"}}# onwaar is.
Dus voorzichtige personen zouden kunnen zeggen: "Als alle appels paarse stippen hebben, en ik zeg niet dat ze dat hebben, maar neem aan dat ze dat hebben, dan hebben alle bananen rode strepen" om te voorkomen dat ze beschuldigd worden van het feit dat ze beweren dat alle appels paarse stippen hebben.
In de logica worden verschillende soorten pijlen gebruikt voor verschillende niveaus van formele taal. Hier werken we met de enkele lijn pijl #\rightarrow# om ``als...dan'' uitspraken in de logica weer te geven. Vaak gebruiken we het symbool #\Rightarrow# in de logica om implicaties te bespreken en te analyseren die betrekking hebben op de formele taal in de logica.
Bijvoorbeeld, de implicatie ``als #\blue p\to\blue p# altijd waar is dan #\blue{p\wedge p} \to\blue p# is altijd waar" praat over twee "als...dan" uitdrukkingen in logica. We kunnen het symbool #\Rightarrow# gebruiken om uitdrukkingen van de volgende soort weer te geven: \[\blue p\to\blue p \text{ is altijd waar} \Rightarrow \blue{p\wedge p} \to\blue p \text{ is altijd waar}\]
Een verschil tussen symbolen in de taal van de logica en symbolen om "over te praten" en om implicaties over logica te bewijzen is nuttig.
We gebruiken soms ook de omgekeerde pijl #\leftarrow#. We interpreteren de propositie #\blue{p}\leftarrow \blue{q}# zo dat het hetzelfde betekent als #\blue{q}\rightarrow \blue{p}#.
Bijvoorbeeld, de proposities \[\begin{array}{c}
\blue{\textrm{"Het regent"}} \rightarrow \blue{\textrm{"De grond is nat"}} \\
\blue{\textrm{"De grond is nat"}} \leftarrow \blue{\textrm{"Het regent"}}
\end{array}\] representeren dezelfde propositie. In normale taal corresponderen ze met respectievelijk \[\begin{array}{c}\blue{\textrm{"Als het regent dan is de grond nat"}}\\
\blue{\textrm{"De grond is nat als het regent"}}\end{array}\]
Volgens de definitie is de implicatie #\blue p\rightarrow \blue q# equivalent met #\neg\blue{p}\lor \blue{q}#. Dat betekent dat beide proposities dezelfde waarde hebben voor elke combinatie van waarden van #\blue p# en #\blue q#.
Het gebruik van implicatie maakt het mogelijk om de gelijkwaardigheid van proposities uit te drukken.
De bi-implicatie van twee proposities is een propositie die waar is precies wanneer beide proposities dezelfde waarde hebben. Dit betekent dat de bi-implicatie waar is als de twee proposities ofwel beide waar ofwel beide onwaar zijn. Zo niet dan is de bi-implicatie onwaar.
Bi-implicatie van twee uitspraken #\blue p# en #\blue q# uit equivalentie in de zin dat #\blue p# en #\blue q# altijd dezelfde waarde hebben (waar / onwaar).
Bi-implicatie wordt aangeduid met de dan en slechts dan-operator #\leftrightarrow#.
Voorbeeld
De propositie #\blue{\textrm{"Ik ben het kind van Janine"}}# #\blue{\textit{dan en slechts dan als }}# #\blue{\textrm{"Janine mijn moeder is"}}# is juist, omdat #\blue{\textrm{"Ik ben het kind van Janine"}}# en #\blue{\textrm{"Janine is mijn moeder"}}# beide tegelijkertijd ware of onware uitspraken zijn.
Operator notatie:
#\blue{\textrm{"Ik ben het kind van Janine"} }# #\leftrightarrow# #\blue{\textrm{"Janine is mijn moeder"}}#.
Een bi-implicatie geeft aan dat de waarheid van het eerste deel van de propositie de waarheid van het tweede deel impliceert en de waarheid van het tweede deel impliceert de waarheid van het eerste deel.
Net zoals het geval was met de implicatie werken we alleen met de enkele lijn pijl #\leftrightarrow# om de bi-implicatie aan te geven en niet met de dubbele lijn pijl #\Leftrightarrow#.
Een blik op de definitie geeft dat voor proposities #\blue p# en #\blue q# de propositie #\blue p\leftrightarrow \blue q# gelijk is aan \[ \left(\neg\blue{p}\land \neg\blue{q}\right)\lor \left(\blue{p}\land \blue{q}\right)\] Later zullen we zien dat dit ook equivalent is aan de combinatie #\left(\blue{p} \rightarrow \blue{q}\right)\land \left(\blue{q} \rightarrow \blue{p}\right)# van twee implicaties. Vandaar de naam bi-implicatie.
In plaats van "#\blue p# is waar
dan en slechts dan als #\blue q# waar is", zeggen we ook vaak "#\blue p# is waar
precies (dan) als #\blue q# waar is". Het woord "precies" onderscheidt de bi-implicatie van een eenzijdige implicatie.
| type |
voorbeeld |
betekenis |
| implicatie |
#\blue{p}\leftarrow\blue{q}# |
#\blue p# is waar als #\blue q# waar is |
| bi-implicatie |
#\blue{p}\leftrightarrow\blue{q}# |
#\blue p# is waar precies als #\blue q# waar is |
Stel dat we weten"Als ik goed studeer, dan haal ik mijn examen."
Is het volgende een correcte logische consequentie?
"Ik heb mijn examen niet gehaald, dus ik heb niet goed gestudeerd"
Ja, dit is een correcte logische consequentie
Gegeven de propositie ''als ik goed studeer, dan haal ik mijn examen'', weten we dat goed studeren het halen impliceert. Dit betekent dat ik niet goed gestudeerd heb als ik mijn examen niet heb gehaald. Als ik goed zou hebben gestudeerd, dan zou ik het examen wel gehaald hebben. Daarom kunnen we inderdaad concluderen dat ik niet goed heb gestudeerd.
Implicatie
