We hebben eerder gezien dat een functie aan elk element van een verzameling een element in de verzameling toewijst. We gaan nu in meer detail naar deze verzamelingen kijken.
Zij een functie van naar . We noemen de verzameling het van en de verzameling het van .
Een functie wijst dus voor elk element uit het een element uit het aan.
Voorbeeld
met functievoorschrift:
:
:
In het geval van het is het niet noodzakelijk dat elk element ook bereikt wordt. Het deel dat wel bereikt wordt, noemen we het bereik. We komen hier later uitgebreider op terug.
Voorbeeld
met functievoorschrift:
Bereik:
Een bijzondere functie is de constante functie. Dit is de functie die bij elk element van hetzelfde element uit aanwijst.
Het bereik van deze functie is dan de verzameling .
De meeste functies in deze cursus zijn reëelwaardig.
Functies waarbij het gelijk is aan noemen we reëelwaardige functies.
Als bovendien het een deel van is, noemen we de functie een reële functie.
Wanneer we een reële functie weergeven met een functievoorschrift is het niet meteen duidelijk wat het is. We zeggen dan dat het het grootst mogelijke gebied is waarop de functie gedefinieerd is.
Voorbeelden
Het van:
is
is
is
is
In deze cursus zal vaak een functie alleen gegeven worden aan de hand van een functievoorschrift. Het wordt dan niet expliciet vermeld; zoals gezegd wordt dan het grootst mogelijke in bedoeld. Bij sommige soorten functies, zoals machtsfuncties, zullen we aangeven dat we het standaard voor deze groep beperkt kiezen.
Het is belangrijk het in acht te nemen, bijvoorbeeld bij het tekenen van grafieken of het oplossen van vergelijkingen.
Ook het wordt vaak niet expliciet vermeld. In deze cursus wordt vooral met reële of reëelwaardige functies gewerkt en dan is het gelijk aan .
Een reële functie weergegeven door een functievoorschrift heeft meestal als domein de grootst mogelijke deelverzameling van waarop het functievoorschrift is gedefinieerd. We kunnen het domein van ook bewust beperken. Bijvoorbeeld bij een functie die de baan van een voetbal beschrijft. De functie beschrijft dan de hoogte van de bal op een tijdstip . Als de bal op tijdstip wordt weggeschopt, is het logisch het domein te beperken tot .
Omdat het domein de grootst mogelijke verzameling is waarop de functie gedefinieerd is, is het domein van de reële functie gelijk aan de verzameling . Want de wortel van een negatief getal is niet gedefinieerd.
Welke van de volgende verzamelingen is het grootst mogelijke domein van de functie ?
Het grootst mogelijke domein zijn alle -waarden waarvoor de functie gedefinieerd is.
Een gebroken functie is niet gedefinieerd als de noemer gelijk aan is. In dit geval is de noemer gelijk aan als . De functie is dus gedefinieerd voor alle reële getallen behalve .
Daarom is het grootst mogelijke domein alle reële getallen behalve en dat noteren we als .