Domein

Functies: Functies

Domein

We hebben eerder gezien dat een functie #f:\blue X \to \orange Y# aan elk element #x# van een verzameling #\blue X# een element #y# in de verzameling #\orange Y# toewijst. We gaan nu in meer detail naar deze verzamelingen kijken.

Domein en codomein

Zij #f# een functie van #\blue X# naar #\orange Y#. We noemen de verzameling #\blue X# het #\blue{\textbf{domein}}# van #f# en de verzameling #\orange Y# het #\orange{\textbf{codomein}}# van #f#.

Een functie #f# wijst dus voor elk element #x# uit het #\blue{\text{domein}}# een element #y# uit het #\orange{\text{codomein}}# aan.

Voorbeeld

#f: \{1,2,3\} \to \{1,2,\ldots,9\}#

met functievoorschrift: #f(x)=x^2#

#\blue{\text{Domein}}#: #\{1,2,3\}#

#\orange{\text{Codomein}}#: #\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}#

Niet elk element in codomein

In het geval van het #\orange{\text{codomein}}# is het niet noodzakelijk dat elk element ook bereikt wordt. Het deel dat wel bereikt wordt, noemen we het bereik. We komen hier later uitgebreider op terug.

Voorbeeld

#f: \{1,2,3\} \to \{1,2,\ldots,9\}#

met functievoorschrift: #f(x)=x^2#

Bereik: #\{1,4,9\}#

Constante functie

Een bijzondere functie is de constante functie. Dit is de functie die bij elk element #x# van #\blue{X}# hetzelfde element #y# uit #\orange{Y}# aanwijst.

Het bereik van deze functie is dan de verzameling #\{y\}#.

Voorbeelden

#f(x)=4#

#f(x)=-\frac{1}{3}#

#f(x)=\pi#

De meeste functies in deze cursus zijn reëelwaardig.

Reëelwaardige en reële functies

Functies waarbij het #\orange{\text{codomein}}# gelijk is aan #\mathbb{R}# noemen we reëelwaardige functies.

Als bovendien het #\blue{\text{domein}}# een deel van #\mathbb{R}# is, noemen we de functie een reële functie.

Wanneer we een reële functie weergeven met een functievoorschrift is het niet meteen duidelijk wat het #\blue{\text{domein}}# is. We zeggen dan dat het #\blue{\text{domein}}# het grootst mogelijke gebied is waarop de functie gedefinieerd is.

Voorbeelden

Het #\blue{\text{domein}}# van:

#f(x)=x^2# is #\blue{\mathbb{R}}#

#f(x)=\sqrt{x}# is #\blue{\ivco{0}{\infty}}#

#f(x)=\frac{1}{x}# is #\blue{\mathbb{R}\setminus\{0\}}#

#f(x) = \sqrt{4-x}# is #\blue{(-\infty, 4]}#

Functievoorschrift

In deze cursus zal vaak een functie alleen gegeven worden aan de hand van een functievoorschrift. Het #\blue{\text{domein}}# wordt dan niet expliciet vermeld; zoals gezegd wordt dan het grootst mogelijke #\blue{\text{domein}}# in #\mathbb{R}# bedoeld. Bij sommige soorten functies, zoals machtsfuncties, zullen we aangeven dat we het #\blue{\text{domein}}# standaard voor deze groep beperkt kiezen.
Het is belangrijk het #\blue{\text{domein}}# in acht te nemen, bijvoorbeeld bij het tekenen van grafieken of het oplossen van vergelijkingen.

Ook het #\orange{\text{codomein}}# wordt vaak niet expliciet vermeld. In deze cursus wordt vooral met reële of reëelwaardige functies gewerkt en dan is het gelijk aan #\mathbb{R}#.

Beperkt domein

Een reële functie #f# weergegeven door een functievoorschrift heeft meestal als domein de grootst mogelijke deelverzameling van #\mathbb{R}# waarop het functievoorschrift #f(t)# is gedefinieerd. We kunnen het domein van #f# ook bewust beperken. Bijvoorbeeld bij een functie die de baan van een voetbal beschrijft. De functie beschrijft dan de hoogte van de bal op een tijdstip #t#. Als de bal op tijdstip #t=0# wordt weggeschopt, is het logisch het domein te beperken tot #t \geq 0#.

Toelichting voorbeeld wortel

Omdat het domein de grootst mogelijke verzameling is waarop de functie gedefinieerd is, is het domein van de reële functie #f(x) = \sqrt{x}# gelijk aan de verzameling #\ivco{0}{\infty}#. Want de wortel van een negatief getal is niet gedefinieerd.

Welke van de volgende verzamelingen is het grootst mogelijke domein van de functie #f(x) = {{1}\over{x-2}}#?

#\mathbb{R}\setminus\{2\}#

Het grootst mogelijke domein zijn alle #x#-waa‌rden waarvoor de functie gedefinieerd is.
Een gebroken functie is niet gedefinieerd als de noemer gelijk aan #0# is. In dit geval is de noemer gelijk aan #0# als #x=2#. De functie is dus gedefinieerd voor alle reële getallen behalve #2#.
Daarom is het grootst mogelijke domein alle reële getallen behalve #2# en dat noteren we als #\mathbb{R}\setminus\{2\}#.

Nieuw voorbeeld