Op deze pagina berekenen we afgeleiden van machtsfuncties.
Laat #\blue{a}# en #\green{n}# reële getallen zijn. Als \[f(x)=\blue{a}\cdot x^{\green{n}}\] dan is de afgeleide van #f# gelijk aan \[f'(x)=\blue{a}\cdot \green{n}\cdot x^{\green{n}-1}\]
Voorbeeld
\[\text{Voor }f(x)=\blue{5}\cdot x^{\green{3}}\] geldt \[f'(x)=\blue{5}\cdot \green{3}\cdot x^{\green{3}-1}=15\cdot x^2\]
Deze regel impliceert dat de afgeleide van een constante functie is gelijk aan nul.
We laten zien hoe. Laat #f# een constante functie zijn, dus #f(x)=\blue{a}# met reëel getal #\blue{a}#. Deze functie kunnen we ook schrijven als #f(x)=\blue{a}\cdot 1 = \blue{a}\cdot x^{\green{0}}#. De afgeleide van de constante functie is dus gelijk aan #f'(x)=\blue{a}\cdot \green{0} \cdot x^{\green{0}-1}=0#.
Deze regel kan ook toegepast worden op wortelfuncties. We kunnen een wortelfunctie namelijk altijd schrijven als een machtsfunctie waar exponent #\green{n}# gelijk is aan een breuk.
Voor bijvoorbeeld #f(x)=4\cdot\sqrt{x}#. Dit kunnen we schrijven als \[f(x)=\blue{4}\cdot x^{\green{\frac{1}{2}}}\] Er geldt dus \[f'(x)=\blue{4}\cdot \green{\frac{1}{2}}\cdot x^{\left(\green{\frac{1}{2}}-1\right)}=2 \cdot x^{-\frac{1}{2}}=\displaystyle\frac{2}{\sqrt{x}}\]
Bij een negatieve macht is deze regel ook toepasbaar.
Voor bijvoorbeeld #f(x)=\displaystyle \frac{3}{x}#. Dit kunnen we schrijven als \[f(x)=\blue{3}\cdot x^{\green{-1}}\] Er geldt dus \[f'(x)=\blue{3} \cdot (\green{-1}) \cdot x^{\green{-1}-1}=-3\cdot x^{-2}=\displaystyle -\frac{3}{x^2}\]
In de voorbeelden tot nu toe hebben we steeds de afgeleide functie bepaald. Deze wordt ook wel simpelweg afgeleide genoemd. De afgeleide in een punt #x=a# is niks anders dan #x=a# gesubstitueerd in de afgeleide functie.
Neem het voorbeeld #f(x)=\blue{5}\cdot x^{\green{3}}#. We hebben gezien dat de afgeleide functie gelijk is aan #f'(x)=15\cdot x^2#. De afgeleide van #f(x)# in #x=2# is dus #f'(2)=15\cdot 2^2=60#.
Laat #\green{n}# een natuurlijk getal zijn en #\blue{a}# een reëel getal. We willen bewijzen dat de uitspraak #\frac{\dd}{\dd x}\left(\blue{a}\cdot x^{\green{n}}\right)=\blue{a}\cdot \green{n}\cdot x^{\green{n}-1}# geldt voor alle natuurlijke getallen #\green{n} \geq 1# met behulp van
volledige inductie.
Laat #\blue{a}# een reëel getal zijn en #f_\green{n}(x)=\blue{a} \cdot x^\green{n}#. Eerst controleren we het inductiebegin: \[\lim_{\orange{h} \to 0} \frac{f_\green{1}(x+\orange{h}) - f_\green{1}(x) } {\orange{h}} = \lim_{\orange{h} \to 0} \frac{\blue{a}(x+\orange{h}) - \blue{a} x } {\orange{h}} = \lim_{\orange{h} \to 0} \frac{\blue{a}\orange{h}}{\orange{h}} = \blue{a} \] De limiet is een reëel getal en is gelijk aan #\blue{a}#, wat betekent dat #f_\green{1}'(x)=\blue{a} = \blue{a} \cdot \green{1} \cdot x^{\green{1}-1}#. De uitspraak geldt dus voor #\green{n}=1#.
Vervolgens stellen we de inductiehypothese op. Neem aan dat #f_\green{n}'(x)=\blue{a}\cdot \green{n}\cdot x^{\green{n}-1}#. Dit betekent \[\lim_{\orange{h} \to 0} \frac{f_\green{n}(x+\orange{h}) - f_\green{n}(x) } {\orange{h}} =\lim_{\orange{h} \to 0} \frac{\blue{a}(x+\orange{h})^\green{n} - \blue{a} x^\green{n} } {\orange{h}}=\blue{a}\cdot \green{n}\cdot x^{\green{n}-1}\]
Nu gaan we de inductiestap doen, waar we willen bewijzen dat #f_\green{n+1}'(x)=\blue{a}\cdot (\green{n+1})\cdot x^{\green{n+1}-1}# met behulp van de inductiehypothese. We hebben \[\begin{array}{rcl} \displaystyle \lim_{\orange{h} \to 0} \frac{f_\green{n+1}(x+\orange{h}) - f_\green{n+1}(x) } {\orange{h}} &=& \displaystyle \lim_{\orange{h} \to 0} \frac{\blue{a}(x+\orange{h})^\green{n+1} - \blue{a} x^\green{n+1} }{\orange{h}} \\&&\quad\blue{f_{n+1}\text{ ingevuld}} \\ &=& \displaystyle \lim_{\orange{h} \to 0} \frac{(x+\orange{h}) \cdot \blue{a}(x+\orange{h})^\green{n} - x \cdot \blue{a} x^\green{n} }{\orange{h}} \\&&\quad\blue{\text{anders geschreven}} \\ &=& \displaystyle \lim_{\orange{h} \to 0} \left( \left( x \cdot \frac{ \blue{a}(x+\orange{h})^\green{n} - \blue{a} x^\green{n} }{\orange{h}} \right) + \orange{h} \cdot \left(\frac{\blue{a}(x+\orange{h})^\green{n}}{\orange{h}} \right) \right) \\&&\quad\blue{\text{anders geschreven}} \\ &=& \displaystyle x \cdot \left(\lim_{\orange{h} \to 0} \frac{\blue{a}(x+\orange{h})^\green{n} - \blue{a} x^\green{n} } {\orange{h}} \right) + \lim_{\orange{h} \to 0} \left(\blue{a} (x+\orange{h})^\green{n} \right) \\&&\quad\blue{\text{rekenregels van limieten toegepast en vereenvoudigd}} \\ &=& x \cdot \blue{a}\cdot \green{n}\cdot x^{\green{n}-1} + \blue{a} \cdot x^\green{n} \\&&\quad\blue{\text{inductiehypothese toegepast en limiet uitgewerkt}} \\ &=& \blue{a} \cdot (\green{n+1}) \cdot x^{\green{n+1} -1} \\&&\quad\blue{\text{vereenvoudigd}} \end{array}\] De uitspraak geldt dus ook voor #\green{n+1}# gegeven de inductiehypothese. Volgens het princiepe van volledige inductie kunnen we dus concluderen dat de uitspraak geldt voor alle #\green{n} \geq 1#.
Dit tweede bewijs geldt ook voor reële getallen #\green{n}#, maar maakt gebruik van theorie die we nog niet gezien hebben, namelijk het
impliciet differentiëren van
logaritmische functies.
Laat #\green{n}# en #\blue{a}# reële getallen zijn. We willen bewijzen dat #\frac{\dd}{\dd x}\left(\blue{a}\cdot x^{\green{n}}\right)=\blue{a}\cdot \green{n}\cdot x^{\green{n}-1}#. Laat #y=\blue{a}\cdot x^{\green{n}}#. Dan geldt
\[\begin{array}{rcl}\displaystyle y &=& \blue{a} \cdot x^{\green{n}} \\ &&\quad \blue{\text{gegeven ingevuld}} \\ \ln(y) &=& \ln(\blue{a} \cdot x^{\green{n}}) \\ && \quad \blue{\ln \text{ genomen aan beide kanten}} \\ \ln(y) &=& \ln(\blue{a}) + \green{n} \cdot \ln(x) \\ && \quad \blue{\text{rekenregels logaritmen}} \\ \displaystyle \frac{1}{y} \frac{\dd y} {\dd x} &=& \displaystyle\frac {\green{n}}{x} \\ && \quad \blue{\text{impliciet gedifferentieerd}} \\ \displaystyle\frac{\dd y}{\dd x} &=& \displaystyle y \cdot \frac{\green{n}}{x} \\ && \quad \blue{\text{vermenigvuldigd met } y \text{ aan beide kanten}} \\ \displaystyle \frac{\dd}{\dd x}\left(\blue{a}\cdot x^{\green{n}}\right) &=&\displaystyle \blue{a} \cdot x^{\green{n}} \cdot \frac{\green{n}}{x} \\ &&\quad \blue{y=a\cdot x^n \text{ ingevuld}} \\ &=& \blue{a} \cdot \green{n} \cdot x^{\green{n}-1} \\ &&\quad \blue{\text{vereenvoudigd}}
\end{array}\]
Hiermee is het bewijs geleverd dat #\frac{\dd}{\dd x}\left(\blue{a}\cdot x^{\green{n}}\right)=\blue{a}\cdot \green{n}\cdot x^{\green{n}-1}#.
Bereken de afgeleide van de functie #f(x)=# #-7\cdot x^5#.
#f'(x)=# #-35\cdot x^4#
Volgens de machtsregel geldt dat de afgeleide van een functie #g(x)=a\cdot x^n# gelijk is aan #g'(x)=a\cdot n\cdot x^{n-1}#. De functie #f(x)# heeft deze vorm met #a = -7# en #n = 5#. Dus #f'(x)=-7\cdot 5 \cdot x^{5-1}=-35\cdot x^4#.
Afgeleide van een machtsfunctie
