Algemene oplossing van een lineaire vergelijking

Basisvaardigheden algebra: Lineaire functies

Algemene oplossing van een lineaire vergelijking

We hebben gezien dat we lineaire vergelijkingen door herleiding kunnen oplossen. Een lineaire vergelijking heeft in het algemeen drie mogelijke oplossingen.

Laat #a# en #b# reële getallen zijn. De oplossingen van de vergelijking #a\cdot x+b=0# met onbekende #x# zijn als volgt te vinden.

geval	oplossingen
#a\ne0#	precies één: #x=−\dfrac{b}{a}#
#a=0# en #b\ne0#	geen
#a=0# en #b=0#	ieder getal #x#

We geven aan waarom. (De vergelijking is #ax+b=0#.)

geval	oplossingen	verklaring
#a\ne0#	precies één: #x=−\dfrac{b}{a}#	Trek links en rechts #b# af en deel vervolgens beide zijden door #a#.
#a=0# en #b\ne0#	geen	De vergelijking wordt #b=0# en dat is niet waar, ongeacht de keuze van #x#
#a=0# en #b=0#	ieder getal #x#	De vergelijking wordt #b=0# en dat is waar voor elke keuze van #x#

Deze regels hoef je niet te onthouden, omdat de oplossingen eenvoudig te vinden zijn door herleiding.

Bij herleiding zijn de drie gevallen als volgt te herkennen.

geval	oplossingen	herkenning bij herleiding
#a\ne0#	precies één: #x=−\dfrac{b}{a}#	De herleiding resulteert in de vergelijking #x=−\dfrac{b}{a}#.
#a=0# en #b\ne0#	geen	De herleiding resulteert in een uitspraak zonder #x#, waarbij de uitspraak niet waar is. Bijvoorbeeld #2=3#.
#a=0# en #b=0\ #	ieder reëel getal #x#	De herleiding resulteert in een uitspraak zonder #x#, waarbij de uitspraak altijd waar is. Bijvoorbeeld #4=4#.

De drie gevallen zijn ook te herkennen in termen van lijnen, zoals we later zullen zien. Van elk geval geven we een voorbeeld.

Los de vergelijking #-9 x+10=5 x-18# in #x# op.

Oplossing

#x=2#

Om dit in te zien herleiden we de vergelijking als volgt.

\[\begin{array}{rclcl}-14 x+10&=&-18&\phantom{x}&\color{blue}{\text{de term }5 x\text{ naar links gebracht}}\\ -14 x &=&-28&\phantom{x}&\color{blue}{\text{de term }10\text{ naar rechts gebracht}} \\ x &=&2&\phantom{x}&\color{blue}{\text{door }-14\text{ gedeeld}}\tiny.\end{array}\]

De enige oplossing van de vergelijking is dus #x=2#.

Nieuw voorbeeld