Basisvaardigheden algebra: Lineaire functies
Algemene oplossing van een lineaire vergelijking
We hebben gezien dat we lineaire vergelijkingen door herleiding kunnen oplossen. Een lineaire vergelijking heeft in het algemeen drie mogelijke oplossingen.
Laat #a# en #b# reële getallen zijn. De oplossingen van de vergelijking #a\cdot x+b=0# met onbekende #x# zijn als volgt te vinden.
|
geval
|
oplossingen
|
|
#a\ne0#
|
precies één: #x=−\dfrac{b}{a}#
|
|
#a=0# en #b\ne0#
|
geen
|
|
#a=0# en #b=0#
|
ieder getal #x#
|
We geven aan waarom. (De vergelijking is #ax+b=0#.)
|
geval
|
oplossingen
|
verklaring
|
|
#a\ne0#
|
precies één: #x=−\dfrac{b}{a}#
|
Trek links en rechts #b# af en deel vervolgens beide zijden door #a#. |
|
#a=0# en #b\ne0#
|
geen
|
De vergelijking wordt #b=0# en dat is niet waar, ongeacht de keuze van #x#
|
|
#a=0# en #b=0#
|
ieder getal #x#
|
De vergelijking wordt #b=0# en dat is waar voor elke keuze van #x#
|
Deze regels hoef je niet te onthouden, omdat de oplossingen eenvoudig te vinden zijn door herleiding.
Bij herleiding zijn de drie gevallen als volgt te herkennen.
|
geval
|
oplossingen
|
herkenning bij herleiding
|
|
#a\ne0#
|
precies één: #x=−\dfrac{b}{a}#
|
De herleiding resulteert in de vergelijking #x=−\dfrac{b}{a}#. |
|
#a=0# en #b\ne0#
|
geen
|
De herleiding resulteert in een uitspraak zonder #x#, waarbij de uitspraak niet waar is. Bijvoorbeeld #2=3#.
|
|
#a=0# en #b=0\ #
|
ieder reëel getal #x#
|
De herleiding resulteert in een uitspraak zonder #x#, waarbij de uitspraak altijd waar is. Bijvoorbeeld #4=4#. |
De drie gevallen zijn ook te herkennen in termen van lijnen, zoals we later zullen zien. Van elk geval geven we een voorbeeld.
#x=7#
Om dit in te zien herleiden we de vergelijking als volgt.
\[\begin{array}{rclcl}7 x+7&=&56&\phantom{x}&\color{blue}{\text{de term }x\text{ naar links gebracht}}\\ 7 x &=&49&\phantom{x}&\color{blue}{\text{de term }7\text{ naar rechts gebracht}} \\ x &=&7&\phantom{x}&\color{blue}{\text{door }7\text{ gedeeld}}\tiny.\end{array}\]
De enige oplossing van de vergelijking is dus #x=7#.
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.
