Basisvaardigheden algebra: Kwadratische functies
De abc-formule
We hebben gezien hoe we een kwadratische vergelijking snel op kunnen lossen met ontbinding in factoren. Echter, niet elke vergelijking is op te lossen met ontbinding in factoren (tenminste, zonder wortels te trekken). Daarom zullen we in deze paragraaf kijken naar een algemene oplosmethode die altijd werkt, namelijk de abc-formule.
Kwadraatsafsplitsen
Een kwadratische veelterm in #x# is zó op te schrijven dat de variabele #x# maar één keer voorkomt:
\[ax^2+bx+c = a\cdot\left(\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2-4a\cdot c}{(2a)^2}\right)\tiny.\] Deze herschrijving heet kwadraatafsplitsen.
Dit is in te zien door de haakjes uit het rechter lid weg te werken.
Enkele voorbeelden:
\[\begin{array}{rcl}x^2+x+1&=&\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\\ x^2+2x+1&=&\left(x+1\right)^2\\ 2x^2+x+1&=&2\cdot\left(\left(x+\dfrac{1}{4}\right)^2+\dfrac{7}{16}\right)\\ x^2+x+2&=&\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{7}{4}\\ x^2+3x+2&=& \left(x+\dfrac{3}{2}\right)^2-\dfrac{1}{4} \end{array}\]
We gebruiken deze splitsing om kwadratische vergelijkingen op te lossen.
Discriminant en abc-formule
Laat #a#, #b#, #c# reële getallen zijn met #a\ne0#. De vergelijking #ax^2+bx+c=0# kan herleid worden tot
\[x=\dfrac{-b - \sqrt{b^2-4a\cdot c}}{2a}\lor x=\dfrac{-b+ \sqrt{b^2-4a\cdot c}}{2a}\]
De uitdrukking #b^2-4a\cdot c# noemen we de discriminant van #a\cdot x^2+b\cdot x+c#; we duiden die vaak aan met #D#.
Met deze notatie geldt\[x=\dfrac{-b - \sqrt{D}}{2a}\lor x=\dfrac{-b+ \sqrt{D}}{2a}\]
- Als #D\lt 0#, dan zijn er geen oplossingen.
- Als #D= 0#, dan is er dus maar één oplossing: #x=\dfrac{-b}{2a}#.
- Als #D\gt 0#, dan zijn er twee oplossingen.
Bovenstaande noemen we ook wel de abc-formule. Met deze formule is elke kwadratische vergelijking op te lossen.
We zullen nu naar enkele voorbeelden kijken waarin kwadratische vergelijkingen met behulp van de abc-formule worden opgelost en waar met behulp van de discriminant bepaald wordt hoeveel oplossingen een kwadratische vergelijking heeft.
Om dit in te zien maken we gebruik van de abc-formule \[x=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a'}\lor x=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a'}\] met discriminant #D=b^2-4a'\cdot c#, waarbij #a'=2#, #b=5# en #c=3# (we hebben de parameter #a# in de abc-formule een accent gegeven ter onderscheiding van de onbekende #a# in de vergelijking): \[\begin{array}{rcl}
D&=&5^2-4\cdot 2\cdot 3=1\\
&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{discriminant berekend}}\\
x=\frac{-5-\sqrt{1}}{4}&\lor&x=\frac{-5+\sqrt{1}}{4}\\
&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{abc-formule gebruikt}}\\
x=-{{3}\over{2}}&\lor&x=-1\\
&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{oplossing vereenvoudigd}}\\
\end{array}\]
De grafiek van de functie # 2\cdot x^2+5\cdot x+3# is hieronder getekend. De #x#-coördinaten van de snijpunten van de grafiek met de #x#-as zijn de oplossingen van de vergelijking.
![generated image](/images/plots/4267798738dafc006d6d648fdda8f5e3.png?1)
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.