Exponentiële groei

Exponentiële en logaritmische groei: Exponentiële groei

Exponentiële groei

Als een waarde \(c\) elk tijdsinterval van vaste lengte met hetzelfde percentage verandert, dan wordt \(c\) in feite iedere keer vermenigvuldigd met dezelfde factor. We hebben dan te maken met een constant veelvoud van een exponentiële functie.

Exponentiële groei-functie

Een exponentiële groei-functie heeft functievoorschrift \[f(x) = c \cdot g^x\]

Hierbij is

\(c\) de beginwaarde, dat wil zeggen: de functiewaarde voor \(x=0\),
\(g\) de groeifactor of het grondtal,
\(x\) het argument of de exponent

Een groei die met een exponentiële groei-functie beschreven kan worden, noemen we ook wel een exponentiële groei-model of kortweg exponentiële groei.

De exponentiële groei-functie is alleen gedefinieerd voor \(g \gt 0\).

Dit heeft invloed op het bereik van een exponentiële groei-functie:

als \(c \gt 0\) dan \(f(x) \gt 0\) voor alle \(x\)
als \(c \lt 0\) dan \(f(x) \lt 0\) voor alle \(x\)

met \(y=0\) als horizontale asymptoot voor \(g \neq 1\). Dit betekent dat de functie nooit de waarde #0# aanneemt, maar dat we functiewaarden er wel willekeurig dicht bij kunnen komen. De functiewaarde komt dichter en dichter bij #0# als #x# verder en verder van #0# komt en negatief is in het geval #g\gt0# en positief in het geval #g\lt0#.

Als \(c = 0\), dan is #f(x)# de constante functie #0#; dat wil zeggen: \(f(x) = 0\) voor alle \(x\).

Het argument #x# is de looptijd van de groei. Als #x# een natuurlijk getal is, dan is #x# het aantal malen dat \(c\) met de groeifactor \(g\) vermenigvuldigd moet worden om de functiewaarde te krijgen.

De exponentiële groei-functie #f(x) = c \cdot g^x# is dan en slechts dan een exponentiële functie als de constante #c# gelijk is aan #1#.

Om de kenmerken van een exponentiële groei-functie te kunnen bespreken voeren we twee begrippen in die op een willekeurige functie van toepassing zijn.

Groei en relatieve groei

Laat #a# en #p# getallen zijn met #p\ge0# en laat #f(x)# een functie zijn die gedefinieerd is voor alle #x# met #a\le x\le a+ p#.

De waarde #f(a+p)-f(a)# heet de groei van #f(x)# tussen #a# en #a+p#.
Als #f(a)\ne0# dan heet de waarde #\frac{f(a+p)-f(a)}{f(a)}# de relatieve groei van #f(x)# tussen #a# en #a+p#.

Als bijvoorbeeld #f(x)=x^2#, dan is de groei van #f(x)# tussen #0# en #1# gelijk aan #f(1)-f(0)=1#. De relatieve groei van deze functie tussen #0# en #1# is niet gedefinieerd omdat #f(0)=0#. De relatieve groei van #f(x)# tussen #1# en #1+p# is gelijk aan \(\frac{(1+p)^2-1}{1}=p\cdot(p+2)\).

De relatieve groei moet niet verward worden met het differentiequotiënt #\frac{f(a+p)-f(a)}{p}#, dat bij differentiëren een grote rol speelt. Bij differentiëren is de noemer de lengte van het interval #\ivcc{a}{a+p}#, terwijl bij relatieve groei de noemer de waarde van #f# in het beginpunt van het interval is.

Hieronder geven we enkele kenmerkende eigenschappen van exponentiële groei.

Relatieve groei van het exponentiële groei-model

Laat #g# een positief getal zijn en #c# een constante ongelijk aan #0#.

Als \(f(x) = c\cdot g^x\), dan is de relatieve groei van #f(x)# tussen elk tweetal punten #a# en #a+p# gelijk aan \[g^p-1\]
De relatieve groei van een exponentiële groei-functie is onafhankelijk van de waarde van \(a\).
De relatieve groei van een exponentiële groei-functie is onafhankelijk van de beginwaarde \(c\).

1. De relatieve groei van #f(x)# tussen #a# en #a+p# is gelijk aan \[\frac{f(a+p)-f(a)}{f(a)} =\frac{c\cdot g^{a+p}-c\cdot g^a}{c\cdot g^a}= g^p-1\]

2 en 3. Het functievoorschrift van de relatieve groei is #g^p-1#. Daarin komen #a# en #c# niet voor. Dit functievoorschrift hangt alleen af van de groeifactor #g# en de lengte #p# van het interval #\ivcc{a}{a+p}#.

De eerste uitspraak is een kenmerk van exponentiële groei: Als \(f(x)\) een functie is met relatieve groei #g^p-1# tussen #a# en #a+p# voor elk tweetal getallen #a# en #p# met #p\ge0#, dan heeft #f(x)# de vorm

\[f(x)=f(0)\cdot g^x\]

Dit is in te zien door #a=0# en #p=x# te kiezen in de formule uit de definitie voor relatieve groei:

\[\frac{f(x)}{f(0)}-1 =\frac{f(x)-f(0)}{f(0)}=\frac{f(a+p)-f(a)}{f(a)}=g^p-1\]

zodat \(\frac{f(x)}{f(0)}=g^p\) en dus \(f(x)=f(0)\cdot g^x\).

Dit laat zien dat het exponentiële groei-model alle functies omvat die op elk interval #\ivcc{a}{a+p}# relatieve groei #g^p-1# hebben.

Als \(y = c\cdot g^x\), dan volgt uit de definitie dat de relatieve groei van het exponentiële groei-model tussen \(a\) en \(a+1\) gelijk is aan \(g-1\). We geven deze speciale waarde een eigen naam:

Groeivoet

De gr‍oeivoet van een exponentiële groei met functievoorschrift \(f(x) = c \cdot g^x\) is gelijk aan \(g-1\).

Als we de groeivoet met \(100\)% vermenigvuldigen, dan krijgen we de vaste procentuele toe- of afname van het exponentiële groei-model.

De groeivoet is dus de relatieve groei van het exponentiële groei-model op een interval ter lengte #1#.

Zoals we bij de definitie van exponentiële groei-functie gezien hebben, hangt het van de grootte van #g# af of sprake is van toe- of afname.

Beschrijf alle besproken begrippen voor een exponentiële groei met beginwaarde \(5\) en groeifactor \(4\).

Voor een exponentiële groei met beginwaarde \(5\) en groeifactor \(4\) geldt \(y = 5\cdot 4^{x}\).

Als \(x\) toeneemt van \(2\) naar \(3\), dan neemt \(y\) toe van \(80\) naar \(320\). De groei van \(y\) op het interval #\ivcc{2}{3}# is dus \({320-80} = 240\).

De relatieve groei van \(y\) bij deze toename van \(x\) is dus \(\frac{320-80}{80} =\frac{240}{80} = 3\).

Maar ook bij elke andere toename met \(1\) voor \(x\) is de relatieve groei van \(y\) gelijk aan \( {3} \). De groeivoet van dit groeimodel is immers gelijk aan \( {4}-1 = {3} \).

De vaste procentuele toename van dit groeimodel is \(3 \cdot 100 = 300\)%.

De grafiek van de exponentiële groei-functie #5\cdot 4^{x}# is hieronder getekend. De grote stijging maakt wel duidelijk dat exponentiële groei erg sterke groei voorstelt.

Nieuw voorbeeld