Contante waarde

Exponentiële en logaritmische groei: Eindwaarde

Contante waarde

We hebben al gezien hoe we de eindwaarde berekenen bij een kapitaal dat een aantal jaren op een bank staat op basis van een samengestelde interest. Het is ook interessant om te bekijken welk bedrag we op de bank moeten zetten om na een gekozen aantal jaren een bepaald bedrag te hebben als het op de bank staat en toegenomen is op basis van samengestelde interest.

Contante waarde

De contante waarde of startwaarde van een kapitaal #S# is het beginkapitaal #S(0)# dat nodig is om op basis van samengestelde interest na een zekere looptijd van #n# perioden #S_n# als eindwaarde te krijgen.

De vraag: "Na #15# jaar wil Benjamin een bedrag van #\euro \, 100000# op de bank hebben op basis van een samengestelde interest van #1\%#. Welk bedrag moet hij nu op de bank zetten?" is een voorbeeld van een vraag naar de contante waarde.

De notatie die we hier gebruiken wijkt iets af van de notatie bij de formule voor de eindwaarde: hier gebruiken we #S_n# in plaats van #S(n)# en #S(0)# in plaats van #S_0#. Hierbij geven #S_0# en #S_n# waarden aan die vooraf gegeven zijn en is #S# de functie van #n#, zodat #S(n)# de waarde in #n# van de functie #S# is. Bij de eindwaarde geldt #S(0) = S_0# en hier, bij de contante waarde, #S(n)=S_n#.

Notatie

De contante waarde wordt wel afgekort tot #CW#.

Om de contante waarde te berekenen kunnen we dezelfde formule gebruiken als voor de berekening van de eindwaarde. Hieronder staat de formule in omgerekende vorm.

Contante-waardeformule

De contante waarde #S(0)# van een kapitaal #S_n# bij een looptijd van #n# perioden en een groeivoet #i# is:

\[S(0)=\frac{S_n}{(1+i)^n}\]

De formule voor de eindwaarde is:

\[S_n=S(0) \cdot (1+i)^n\]

Door links en rechts te delen door #(1+i)^n# vinden we:

\[S(0)=\frac{S_n}{(1+i)^n}\]

Dit is de formule om de contante waarde (of startwaarde) te berekenen.

De factor #\frac{1}{(1+i)^n}#, ook wel geschreven als #(1+i)^{-n}#, wordt ook wel aangegeven met #A_{\left .n\right \rceil i}#.

In het algemeen geldt: #A_{\left .n\right \rceil i}=\frac{1}{S_{\left .n\right \rceil i}}#. Deze relatie kan natuurlijk ook geschreven worden als #A_{\left .n\right \rceil i} \cdot S_{\left .n\right \rceil i}=1#.

In de onderstaande voorbeelden zien we hoe dit in de praktijk werkt.

Bereken de contante waarde van een kapitaal van #\euro \, 40000# bij een samengestelde interest van #2.0\%# per jaar en een looptijd van #10# jaar.

De contante waarde is: #\euro# #32813.93#

Om de contante waarde te berekenen kunnen we de formule #S(0)=\frac{S_n}{(1+i)^n}# gebruiken, waarbij #S(0)# de contante waarde is, #S_n# de eindwaarde, #i# de groeivoet en #n# de looptijd.
In dit geval is de eindwaarde gelijk aan #S_n =40000#, de groeivoet #i=\frac{2.0}{100}=0.020# en de looptijd #n=10#. Dat geeft:
\[\begin{array}{rcl}
S(0)&=& \dfrac{S_n}{(1+i)^n}\\
&& \phantom{xxxxx}\color{blue}{\text{de formule}}\\
S(0)&=& \dfrac{40000}{(1+0.020)^{10}}\\
&& \phantom{xxxxx}\color{blue}{\text{waarden ingevuld}}\\
S(0)&\approx&\displaystyle 32813.93 \\
&& \phantom{xxxxx}\color{blue}{\text{uitgerekend en afgerond}}\\
\end{array}\]
Dus de contante waarde is #\euro \, 32813.93#.

Nieuw voorbeeld