Rekenkundige rijen

Rijen en reeksen: Rekenkundige rijen

Rekenkundige rijen

Er zijn twee belangrijke typen rijen, namelijk: de rekenkundige rij en de meetkundige rij. We zullen nu de rekenkundige rij bekijken.

Rekenkundige rij

Een rekenkundige rij is een rij waarvoor geldt dat iedere term ontstaat door de voorgaande met een vast getal te vermeerderen.

Dit vaste geval noemen we het verschil van de rekenkundige rij en noteren we vaak met #v#.

Dus, als #n\gt1#, dan geldt voor de #n#-de term #t_n# van de rij: \[t_n=t_{n-1}+v\]

Notatie

In het Engels wordt het verschil vaak aangeduid met een #d# (voor het Engelse woord 'difference'), maar in het Nederlands gebruiken we vaak #v#. Wij zullen vooral #v# gebruiken in plaats van #d#.

Voorbeelden

Geef de aanvangsterm #t_1#, het verschil #v# en het aantal termen #n# van de onderstaande rij #t#.
\[1, 2, 3, 4, 5, \ldots, 459, 460\]

#t_1=1#
#v=1#
#n=460#

De aanvangsterm is de eerste term en deze is gelijk aan #1#. Dus #t_1=1#.
Om het verschil te berekenen, trekken we twee opeenvolgende termen van elkaar af: #2-1=1#. We zien dat bij de andere opeenvolgende termen dit verschil ook klopt. Dus is het een rekenkundige rij. In dit geval geldt #v=1#.
Aangezien de rij begint bij #1# en eindigt bij #460# met stapgrootte #1# heeft deze rij #460# termen. Dus #n=460#.

Nieuw voorbeeld

De formule in de definitie om de #n#-de term te vinden is een recursieve formule in de zin dat de term #t_n# gegeven wordt door een uitdrukking die de vorige term, #t_{n-1}#, gebruikt. Bij een rekenkundige rij kunnen we ook een directe formule opstellen. Dat is een formule om de #n#-de term te berekenen aan de hand van het rangnummer #n#, de aanvangsterm #t_1# en het verschil #v#. Hierbij is de vorige term niet nodig.

Directe formule rekenkundige rij

De #n#-de term van een rekenkundige rij #t_1, t_2, \ldots# voldoet aan \[t_n=t_1+(n-1) \cdot v\] waarbij #v# het verschil is tussen twee opeenvolgende termen van deze rij.

In het algemeen kunnen de termen van een rekenkundige rij als volgt geschreven worden:

\[\begin{array}{lcl}
t_1&=&t_1 \\
t_2=t_1+v&=&t_1+v\\
t_3=t_2+v&=&t_1+2v\\
t_4=t_3+v=t_1+2v+v&=&t_1+3v\\
.\\
.\\
.\\
t_{20}=t_{19}+v&=&t_1+19v
\end{array}\]

Dit leidt tot de directe formule: \[t_n=t_1+(n-1) \cdot v\]

In dit geval begint de rij bij #t_1#. Er kan ook voor gekozen worden om de rij bij #t_0# te beginnen. In dat geval is de directe formule gelijk aan: \[t_n=t_0+n \cdot v\]

Dit is een gevolg van het feit dat #t_n# nu #(n+1)#-ste term is.

Hieronder laten voorbeelden zien hoe we de directe formule kunnen opstellen en hoe we deze kunnen gebruiken om een term te berekenen.

Geef een uitdrukking in termen van #k# voor de #k#-de term van onderstaande rekenkundige rij. \[ a_1=15{,}\quad a_2=23{,}\quad a_3=31{,}\quad a_4=39{,}\quad\ldots\]

#a_k=# #8 \cdot k +7#

Gegeven is dat #a_k# een rekenkundige rij is. Volgens de directe formule geldt dus #a_k=a_1+(k-1) \cdot v#, waarbij #v# het verschil tussen twee opeenvolgende termen is. We moeten dus #a_1# zoeken en het verschil #v#.

De aanvangsterm #a_1# is gegeven en is gelijk aan #15#.
Het verschil tussen de eerste twee termen is #v=23-15=8#.

Dit betekent dat de directe formule gelijk is aan \(a_k=15+8 \cdot (k-1) \). Door haakjes weg te werken, kunnen we dit ook schrijven als \[a_k=8 \cdot k + 7\]

Nieuw voorbeeld