Raaklijnen

Optimalisatie: Differentiëren

Raaklijnen

Zoals we eerder gezien hebben geeft de afgeleide functie in elk punt de richtingscoëfficiënt van een raaklijn. We zullen nu nog wat dieper ingaan op de raaklijn, omdat deze in allerlei situaties handig kan zijn, bijvoorbeeld om antwoorden te benaderen bij moeilijk te berekenen functies.

Als #f# een grafiek is van een functie in het platte vlak en #P# een punt is op die grafiek, dan heet een lijn #l# door #P# een raaklijn aan #f# als

#P# het enige punt is dat #f# en #l# gemeen hebben in een kleine omgeving van #P#, en
de punten van #l# in de buurt van #P# allemaal aan dezelfde kant van #f# liggen.

In eenvoudig Nederlands: de lijn #l# en de grafiek van #f# gaan allebei door #P# maar kruisen elkaar niet in de buurt van #P#.

Bij een raaklijn gaat het om de nabije omgeving van het punt #P#. Het kan wel zo zijn dat de lijn #l# en de grafiek van #f# elkaar wel kruisen in een punt verderop.

Hieronder zien we dat de raaklijn in punt #P# op een kleine omgeving van dat punt de beste lineaire benadering van die functie is.

Beste lineaire benaderingLaat #f# een differentieerbare functie op een open interval zijn dat het getal #p# bevat. De raaklijn aan de grafiek van #f# in #P = \rv{p,f(p)}# is de lijn die #f# het best benadert in de buurt van #P#. In plaats van de raaklijn aan de grafiek van #f# in #P# spreken we ook van de raaklijn aan #f# in #p#.

De gegevens dat de raaklijn #l# door #\rv{p,f(p)}# gaat en richtingscoëfficiënt #f'(p)# heeft, zijn voldoende om een vergelijking voor de lijn op te stellen:

\[ y= f(p)+f'(p)\cdot(x-p)\]

De afgeleide functie geeft de richtingscoëfficiënt van de raaklijn. In de vergelijking van de lijn wordt deze richtingscoëfficiënt #f'(p)# in #p# gebruikt. Verder voldoet #\rv{x,y} = \rv{p,f(p)}# aan deze vergelijking, zodat het punt #\rv{p,f(p)}# op deze lijn ligt. Dit bepaalt de raaklijn uniek. Immers, als we een punt van een lijn en haar richtingscoëfficiënt weten, dan kennen we de lijn.

In het punt #\rv{p, f(p)}# hebben de raaklijn #l# en de functie #f# dezelfde helling; ze lopen dus even schuin. Doordat ze in het punt #\rv{p, f(p)}# even schuin lopen, zullen ze elkaar dus ook niet snijden in de nabije omgeving van het punt #\rv{p, f(p)}#. Dat betekent dat lijn #l# inderdaad een raaklijn is.

Het feit dat de lijn #l# de beste benadering is voor de grafiek van #f# betekent dat ook #f(x)#, voor #x# dicht bij #p# eenvoudig en effectief benaderd kan worden door de lineaire functie van de lijn:

\[f(x)\approx f(p)+ f'(p)\cdot (x-p)\qquad \text{voor }x\text{ voldoende dicht bij }p\]

Toepassing In de economie wordt met de marginale kosten van een productieproces het bedrag aangegeven waarmee de totale kosten toenemen wanneer het productieniveau met één extra eenheid toeneemt. Als we #K(Q)# schrijven voor de kosten als functie van het productieniveau #Q# gemeten in aantallen, en de formule #f(x)\approx f(p)+ f'(p)\cdot (x-p)# voor de beste lineaire benadering van een functie #f(x)# voor #x# voldoende dicht bij #p# toepassen met #f=K#, #p=Q# en #x=Q+1#, dan krijgen we \(K(Q+1)\approx K(Q)+ K'(Q)\), ofwel

\[K'(Q) \approx K(Q+1)-K(Q)\]

Met andere woorden: bij voldoend grote productie-eenheden kunnen de marginale kosten kunnen gezien worden als de afgeleide van de kostenfunctie.

GrafiekHieronder zijn een grafiek van de kwadratische functie #f# en de raaklijn aan #f# in een punt #\rv{p,f(p)}# getekend. Je kunt de punten #\rv{a,f(a)}# en #\rv{b,f(b)}# bewegen om te zien hoe de raaklijn meebeweegt.

Bepaal een vergelijking voor de raaklijn in het punt #\rv{-2,22}# aan de grafiek van de functie \[f(x)=-2x^3-4x-2\]

#y=# #-28x-34#

We schrijven de vergelijking voor de raaklijn aan #P# als #y=ax+b#, waarbij #a# en #b# nog te bepalen reële getallen zijn. Omdat #a# de richtingscoëfficiënt van de raaklijn is, geldt #f'(p) = a#. Volgens de Afgeleide van een veeltermfunctie is de afgeleide van #f# gegeven door #f'(x) =-6 x^2 -4#. Hieruit volgt: #a=f'(-2)=-6\cdot(-2)^2-4=-28#.

We bepalen nu de waarde van #b# in de vergelijking #y=-28 x+b# van de raaklijn. Omdat het punt #[-2,22]# op de raaklijn ligt, moet #22=-28\cdot (-2) + b# gelden. Dit is een lineaire vergelijking met één onbekende (namelijk #b#) die we eenvoudig kunnen oplossen door herleiding. Hieruit volgt #b=-34#.

Onderstaande figuur toont de grafiek van de functie #f(x)=-2x^3-4x-2# en de raaklijn door het punt #\rv{-2,22}#.

Nieuw voorbeeld