Lokale minima en maxima

Optimalisatie: Optimale bestelhoeveelheid

Lokale minima en maxima

Als een functie verandert van stijgend naar dalend (of van dalend naar stijgend), dan verandert de afgeleide van teken, zodat de afgeleide gelijk is aan nul in het overgangspunt.

Omdat de afgeleide de helling van de grafiek geeft, is deze negatief als de functie daalt en positief als de functie stijgt. We kunnen dit ook omdraaien.

Stijgend en dalend

Laat #f# een differentieerbare functie zijn en #p# een getal (een punt op de getallenrechte).

Als #f'(p)\gt 0#, dan is er een open interval #\ivoo{c}{d}# om #p# waarop #f# stijgend is (dat wil zeggen #f(x)\lt f(y)# voor alle #x# en #y# met #c\lt x\lt y\lt d#).
Als #f'(p)\lt 0#, dan is er een open interval #\ivoo{c}{d}# om #p# waarop #f# dalend is (dat wil zeggen #f(x)\gt f(y)# voor alle #x# en #y# met #c\lt x\lt y\lt d#).

Als een punt #p# een maximum of een minimum van #f(x)# is, dan kan de functie niet stijgen of dalen in een kleine omgeving van dat punt: vanwege de stelling moet dus gelden #f'(p)=0#. Zo'n punt heet stationair.

Voor we bekijken hoe de afgeleide gebruikt kan worden om deze extremen te vinden, definiëren we de begrippen lokaal maximum en lokaal minimum.

Laat #f# een functie zijn en #p# een getal.

We zeggen dat #f# een lokaal maximum in #p# heeft als er een open interval #\ivoo{c}{d}# om #p# ligt met #f(x)\le f(p)# voor alle #x\in\ivoo{c}{d}\cap I#.

We zeggen dat #f# een lokaal minimum in #p# heeft als er een open interval #\ivoo{c}{d}# om #p# ligt met #f(x)\ge f(p)# voor alle #x\in\ivoo{c}{d}\cap I#.

Alle lokale minima en maxima bij elkaar noemen we de extreme punten.

Als #f# differentieerbaar is in #p# en #f'(p)=0#, dan wordt #p# een stationair punt van #f# genoemd.

Punten op de rand van #I# kunnen ook lokale maxima zijn. Als een lokaal maximum niet op de rand van #I# zit, dan kan het open interval #\ivoo{c}{d}# geheel in #I# gekozen worden.

Nu we weten wat lokale minima en maxima zijn, gaan we kijken hoe we deze eenvoudig kunnen vinden. Voor differentieerbare functies bepalen we eerst de stationaire punten, en wel om de volgende reden.

Lokale extrema zijn stationaire punten

Als #I# een open interval is dat #p# bevat, als #f# differentieerbaar is in #p# en als #p# een lokaal extremum van #f# is, dan geldt #f'(p)=0#. Een lokaal maximum of minimum van #f# is dus altijd een stationair punt.

VerdiepingIn het voorbeeld hieronder wordt duidelijk dat niet elk stationair punt een lokaal maximum of minimum is.

Laat #f# een differentieerbare functie zijn. We hebben gezien dat als #p# een lokaal minimum of maximum van #f# is, het een stationair punt is. Het omgekeerde geldt niet.

Geef het functievoorschrift #f(x)# van een functie #f# met stationair punt #x=0# dat geen lokaal extreem is.

#f(x)=x^3#

Immers, we moeten een differentieerbare functie #f# geven met de volgende eigenschappen:

#f'(0)=0# (dit betekent dat #x=0# een stationair punt van #f# is)
#0# is geen lokaal minimum en geen lokaal maximum van #f#

Omdat #f'(x)=3x^2#, geldt #f'(0)=0#, zodat #0# inderdaad een stationair punt van #f# is.

De waarde van #f# in #0# is #0#. Omdat #x^3\lt0# als #x\lt0# en #x^3\gt 0# als #x\gt0#, heeft #f# in elk interval om #0# punten waarin een grotere waarde dan #f(0)# en punten waarin een kleinere waarde dan #f(0)# aangenomen wordt. In het bijzonder is #x=0# geen lokaal minimum en geen lokaal maximum van #f#.

Nieuw voorbeeld

We hebben besproken dat als we de lokale maxima en minima willen berekenen, we met behulp van de afgeleide alle stationaire punten bepalen, maar dan nog verder onderzoek moeten plegen. Dit doen we met behulp van een tekenschema van de afgeleide en/of een grafiek van de functie, zoals hieronder aangegeven. We komen op deze aanpak later nog uitgebreider terug.

Geef de twee waarden van #x# waar de functie #f# gegeven door \[f(x)=x^3-2\cdot x^2+x+4\] een extremum (minimum of maximum) heeft.

De kleinste waarde wordt met #x_-# aangegeven en de grootste waarde met #x_+#.

#x_-={{1}\over{3}}# en #x_+=1#

Deze waarden zijn de oplossingen van de vergelijking #f'(x)=0#. De afgeleide van #f# wordt gegeven door\[f'(x)=3x^2-4x+1\tiny.\] We hebben dus te maken met een kwadratische vergelijking met onbekende #x#. Met de abc-formule vinden we \[x_\pm=\frac{4\pm\sqrt{(-4)^2-4\cdot 3\cdot 1}}{2\cdot 3}=\frac{4\pm\sqrt{4}}{6}=\frac{4\pm2}{6}\tiny,\]zodat #x_-={{1}\over{3}}# and #x_+=1#. In onderstaande grafiek is te zien dat de oplossing #x_-={{1}\over{3}}# hoort bij een lokaal maximum van #f# en de oplossing #x_+=1# bij een lokaal minimum.

Nieuw voorbeeld