Rekenregels voor differentiëren: Rekenregels voor de afgeleide
Productregel voor differentiëren
Laat #f# en #g# twee functies zijn.
Product van twee functies
Het product van #f# en #g# is de functie die aan #x# de waarde #f(x)\cdot g(x)# toevoegt. Deze functie wordt aangegeven met #f\cdot g#, dus het functievoorschrift is #(f\cdot g)(x) = f(x)\cdot g(x)#.
Bijvoorbeeld, als #f(x)=x+1# en #g(x)=x^3+1#, dan is #f\cdot g# de functie met functievoorschrift \[\left(f\cdot g\right)(x)=f(x)\cdot g(x) = \left(x+1\right)\cdot \left(x^3+1\right) = x^4+x^3+x+1\tiny.\]
Productregel voor differentiatie
De afgeleide #(f\cdot g)'# van het product #f\cdot g# wordt gegeven door de productformule
\[(f\cdot g)' = f' \cdot g + f\cdot g'\tiny.\]
Dit betekent #(f\cdot g)'(x) = f'(x)\cdot g(x) + f(x)\cdot g'(x)# voor alle #x#.
Om de regel te bewijzen, herschrijven we differentiequotiënt als volgt:
\[\begin{array}{rcl} \text{differentiequotiënt}&=&\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h} \\ &=& \frac{f(x+h)g(x+h)-f(x+h)g(x)+f(x+h)g(x)-f(x)g(x)}{h}\\ &=& \frac{(f(x+h)-f(x))g(x)+f(x+h)(g(x+h)-g(x))}{h}\\ &=& \frac{f(x+h)-f(x)}{h}g(x)+f(x+h)\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\\ \end{array}\]
Nu kunnen we de limiet van het differentiequotiënt voor #h\to 0# berekenen:\[\begin{array}{rcl} \left(f\cdot g\right)'(x) &=& \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}\\ &=&\lim_{h\to 0}\left( \frac{f(x+h)-f(x)}{h}g(x)+f(x+h)\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\right)\\ &=&\lim_{h\to 0}\left(\frac{f(x+h)-f(x)}{h}g(x)\right)+\lim_{h\to 0}\left(f(x+h)\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\right)\\ &=&\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\cdot \lim_{h\to 0} g(x)+\lim_{h\to 0}f(x+h)\cdot \lim_{h\to 0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\\ &=& f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)\tiny.\\ \end{array}\]
De productregel geeft dat de afgeleide gelijk is aan \[\frac{\dd}{\dd x}(x^2+9\cdot x-3)\cdot (x^3-4\cdot x+4) + (x^2+9\cdot x-3)\cdot\frac{\dd}{\dd x} (x^3-4\cdot x+4)\tiny.\] Uitwerking hiervan met behulp van Afgeleide van een veeltermfunctie geeft #(2x+9)\cdot (x^3-4\cdot x+4) + (x^2+9\cdot x-3)\cdot (3x^2-4)# dat te herschrijven is tot #2\cdot x^4+9\cdot x^3-8\cdot x^2-28\cdot x+36+3\cdot x^4+27\cdot x^3-13\cdot x^2-36\cdot x+12# en dus gelijk is aan #5\cdot x^4+36\cdot x^3-21\cdot x^2-64\cdot x+48#.
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.
