Rekenregels voor differentiëren: Rekenregels voor de afgeleide
Quotiëntregel voor differentiëren
Laat #f# en #g# functies zijn. De quotiëntfunctie #\dfrac{f}{g}# is de functie die aan #x# de waarde #\dfrac{f(x)}{g(x)}# toevoegt.
Bijvoorbeeld, als #f(x)=x+1# en #g(x)=x^3+1#, dan heeft de quotiëntfunctie #\frac{f}{g}# functievoorschrift
\[\frac{f}{g}(x) = \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{x+1}{x^3+1}\tiny.\]
De volgende regel bepaalt de afgeleide van een quotiëntfunctie. We brengen in herinnering dat #g^2# voor een functie #g# de productfunctie #g\cdot g# voorstelt.
Quotiëntregel voor differentiatie
Laat #f# en #g# differentieerbare functies zijn. De afgeleide van #\dfrac{f}{g}# is #\dfrac{f'\cdot g-g'\cdot f}{g^2}#, zodat \[\left(\dfrac{f}{g}\right)'(x) = \dfrac{f'(x)\cdot g(x)-f(x) \cdot g'(x)}{g(x)^2}\tiny.\]
Laat #h(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}#. We willen we bewijzen dat #h'(x)=\dfrac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{g(x)^2}#.
We gebruiken de definitie van #h# in de vorm #f(x)=g(x) \cdot h(x)#. De productregel zegt dan dat #f'(x)=g'(x) \cdot h(x) + g(x) \cdot h'(x)#. Dit betekent dat: #h'(x)=\frac{f'(x)-g'(x)\cdot h(x)}{g(x)}#.
Aangezien #h(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}# geldt nu #h'(x)=\frac{f'(x) \cdot g(x)-g'(x)\cdot f(x)}{g^2(x)}#.
Dus #h'(x)=\left(\dfrac{f}{g}\right)'(x)=\frac{f'(x) \cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{g^2(x)}#.
Omdat #f'(x) = 2x+9# en #g'(x) = 2# geeft de quotiëntregel voor differentiatie \[\begin{array}{rcl}\dfrac{\dd}{\dd x}\left(\dfrac{f}{g}(x)\right) &=& \dfrac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{g(x)^2}\\ &=& \dfrac{(2x+9)\cdot (2\cdot x+2)-(x^2+9\cdot x-2)\cdot 2}{(2\cdot x+2)^2}\\ & =& \displaystyle {{x^2+2\cdot x+11}\over{2\cdot x^2+4\cdot x+2}} \end{array}\]
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.
