Bewerkingen met functies: Exponentiële functies en logaritmen
Eigenschappen van de logaritme
Eigenschappen van de logaritme
Laat #a# en #b# positieve getallen ongelijk aan #1# zijn. Dan gelden de volgende regels, waarbij #x# en #y# positieve reële getallen zijn:
| 1 | \(\log_a(x\cdot y) = \log_a (x) + \log_a (y)\) |
| 2 | \(\log_a\frac{x}{y} = \log_a (x) - \log_a (y)\) |
| 3 | \(\log_a\left(x^p\right) =p\cdot \log_a(x)\) |
| 4 | \(\log_a(a)=1\) |
| 5 | \(\log_a(1)=0\) |
| 6 | \(\log_a(x) = \frac{\log_b(x)}{\log_b (a)}\) |
| 7 | Als #a\lt b# en #x\gt 0#, dan #\log_a(x)\lt\log_b(x)# |
| 8 | Als #a\gt 1# en #x\lt y#, dan #\log_a(x)\lt\log_ a(y)# |
In het bijzonder geldt dat #\log_a(x)# toeneemt als #a\gt1# en daalt als #a\lt 1#.
Deze regels zijn directe gevolgen van de bekende rekenregels voor rekenen en de eigenschappen van exponenten.
Hier zijn enkele voorbeelden:
| 1 | \(\log_2(8\cdot 16) = \log_2 (8) + \log_2 (16)=3+4=7\) |
| 2 | \(\log_2\left (\frac{8}{16} \right) = \log_2 (8) - \log_2 (16)=3-4=1\) |
| 3 | \(\log_2(8)^3 = 3\cdot \log_2 (8) =3.3=9\) |
| 4 | \(\log_2(2)=1\) |
| 5 | \(\log_3(1)=0\) |
| 6 | \(\log_2(8) =\frac{\log_{10}(8)}{\log_{10}(2)}=3\) |
De meeste wetenschappelijke rekenmachines hebben de vooraf gedefinieerde symbolen van \(\log\) en \(\ln\). Het symbool \(\log\) staat in rekenmachines meestal voor de logaritme met basis 10, \(\log_{10}\) en het symbool \(\ln\) voor de logaritme met basis \(e\), dat wil zeggen, \(\log_e\).
Regel 6 maakt het mogelijk om een logaritme met basis #a# uit te drukken in logaritmen met basis #b#.
Dit volgt uit de onderstaande berekening:
\[\begin{array}{rcl}
\log_{3}\left(\frac{\sqrt{3}\cdot{9}^{5}}{{3}^{6 \pi}}\right) &=&\log_{3}({3}^{\frac{1}{2}})+5\cdot\log_{3}({3}^{2}) -6 \pi\cdot\log_{3}(3) \\&=& \frac{1}{2} +5\cdot 2 -6 \pi\\ &=& {{21}\over{2}}-6 \pi
\end{array}
\]
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.
