Eigenschappen van de logaritme

Bewerkingen met functies: Exponentiële functies en logaritmen

Eigenschappen van de logaritme

Laat $a$ en $b$ positieve getallen ongelijk aan $1$ zijn. Dan gelden de volgende regels, waarbij $x$ en $y$ positieve reële getallen zijn:

1	$\log_a(x\cdot y) = \log_a (x) + \log_a (y)$
2	$\log_a\frac{x}{y} = \log_a (x) - \log_a (y)$
3	$\log_a\left(x^p\right) =p\cdot \log_a(x)$
4	$\log_a(a)=1$
5	$\log_a(1)=0$
6	$\log_a(x) = \frac{\log_b(x)}{\log_b (a)}$
7	Als $a\lt b$ en $x\gt 0$ , dan $\log_a(x)\lt\log_b(x)$
8	Als $a\gt 1$ en $x\lt y$ , dan $\log_a(x)\lt\log_ a(y)$

In het bijzonder geldt dat $\log_a(x)$ toeneemt als $a\gt1$ en daalt als $a\lt 1$ .

Deze regels zijn directe gevolgen van de bekende rekenregels voor rekenen en de eigenschappen van exponenten.

Hier zijn enkele voorbeelden:

1	$\log_2(8\cdot 16) = \log_2 (8) + \log_2 (16)=3+4=7$
2	$\log_2\left (\frac{8}{16} \right) = \log_2 (8) - \log_2 (16)=3-4=1$
3	$\log_2(8)^3 = 3\cdot \log_2 (8) =3.3=9$
4	$\log_2(2)=1$
5	$\log_3(1)=0$
6	$\log_2(8) =\frac{\log_{10}(8)}{\log_{10}(2)}=3$

De meeste wetenschappelijke rekenmachines hebben de vooraf gedefinieerde symbolen van $\log$ en $\ln$ . Het symbool $\log$ staat in rekenmachines meestal voor de logaritme met basis 10, $\log_{10}$ en het symbool $\ln$ voor de logaritme met basis $e$ , dat wil zeggen, $\log_e$ .

Regel 6 maakt het mogelijk om een logaritme met basis $a$ uit te drukken in logaritmen met basis $b$ .

Vereenvoudig $\log_{3}\left(\frac{\sqrt{3}\cdot{9}^{5}}{{3}^{6 \pi}}\right)$ tot een uitdrukking zonder logaritme.

$\log_{3}\left(\frac{\sqrt{3}\cdot{9}^{5}}{{3}^{6 \pi}}\right)=$ ${{21}\over{2}}-6 \pi$

Dit volgt uit de onderstaande berekening:
$\begin{array}{rcl} \log_{3}\left(\frac{\sqrt{3}\cdot{9}^{5}}{{3}^{6 \pi}}\right) &=&\log_{3}({3}^{\frac{1}{2}})+5\cdot\log_{3}({3}^{2}) -6 \pi\cdot\log_{3}(3) \\&=& \frac{1}{2} +5\cdot 2 -6 \pi\\ &=& {{21}\over{2}}-6 \pi \end{array}$

Nieuw voorbeeld