Multivariate functies: Partiële afgeleiden
Kettingregels voor partiële differentiatie
De kettingregel voor differentiëren beschrijft hoe de afgeleide van een samenstelling van twee functies eruit ziet. De samenstelling van twee functies #f# en #g# is de functie #f\circ g# gegeven door #f\circ g(t) = f(g(t))#.
Kettingregel van een functie van één variabele
Voor we kettingregels bespreken van multivariate functies, blikken we even terug op de kettingregel van functies van één variabele. Laat #f# en #g# twee functies van één variabele zijn. De kettingregel luidt #(f\circ g)' = (f'\circ g)\cdot g'#. In termen van functievoorschriften wordt dit \[\frac{\dd f(g(t))}{\dd t}=\frac{\dd f(x)}{\dd x}\left(g(t)\right)\cdot\frac{\dd g(t)}{\dd t}\tiny.\]De uitdrukking # \frac{\dd f(x)}{\dd x}\left(g(t)\right)# stelt de waarde van de functie #\frac{\dd f(x)}{\dd x}# in #g(t)# voor en kan ook geschreven worden als #\left. \frac{\dd f(x)}{\dd x}\right|_{x=g(t)}#.
Vaak wordt een kortere notatie gebruikt. Schrijf #x=g(t)# en #y=f(x)#. Dan is #\frac{\dd y}{\dd x}# zowel het functievoorschrift van #\frac{\dd f(x)}{\dd x}# als de waarde van #\frac{\dd f(x)}{\dd x}# in #x=g(t)#, en kunnen we de kettingregel kortweg schrijven als\[\frac{\dd y}{\dd t}=\frac{\dd y}{\dd x}\cdot\frac{\dd x}{\dd t}\tiny.\] We zullen met deze notatie verder werken aan kettingregels voor multivariate functies.
De functie \[(3t^2-1)^5\] van #t# is samengesteld uit de functies #f# en #g# met functievoorschriften\[f(x)=x^5\quad\text{en}\quad g(t)=3t^2-1\tiny.\]Immers, #f\circ g(t)=f(g(t))=(g(t))^5=(3t^2-1)^5#.
De afgeleiden van #f# en #g# zijn #\frac{\dd f(x)}{\dd x}=5x^4# en #\frac{\dd g(t)}{\dd t}=6t#, zodat, vanwege de kettingregel,\[\begin{array}{rcl}\frac{\dd(3t^2-1)^5}{\dd t}&=&\frac{\dd f(g(t))}{\dd t}\\&=&\left.\frac{\dd f(x)}{\dd x}\right|_{x=g(t)}\cdot\frac{\dd g(t)}{\dd t}\\ &=&\left.5x^4\right|_{x=3t^2-1}\cdot6t\\&=&5(3t^2-1)^4\cdot6t\\&=&30t\cdot(3t^2-1)^4\end{array}\]
In de korte notatie schrijven we #y=f(x)=x^5# en #x=g(t)=3t^2-1#. Gebruiken we de kettingregel in de korte vorm, dan vinden we:
\[\begin{array}{rcl}\frac{\dd y}{\dd t}&=&\frac{\dd y}{\dd x}\cdot\frac{\dd x}{\dd t}\\ &=&\frac{\dd x^5}{\dd x}\cdot\frac{\dd (3t^2-1)}{\dd t}\\ &=&5x^4\cdot6t\\&=&5(3t^2-1)^4\cdot6t\\&=&30t\cdot(3t^2-1)^4\end{array}\]
Merk op dat we in #\frac{\dd y}{\dd t}# de variabele #y# gebruiken voor #y# als functie van #t# en in #\frac{\dd y}{\dd x}# voor #y# als functie van #x#.
We bespreken nu kettingregels voor functies van twee variabelen.
Kettingregels voor differentiatie
Laat \(f(x,y)\) een functie van de twee variabelen #x# en #y# zijn, zodat #\frac{\partial f}{\partial x}# en #\frac{\partial f}{\partial y}# continue functies zijn.
- Als \(x\) en \(y\) differentieerbare functies van \(t\) zijn, dan geldt voor \(f\) als functie van \(t\): \[\frac{\dd f}{\dd t}=\frac{\partial f}{\partial x}\cdot\frac{\dd x}{\dd t}+ \frac{\partial f}{\partial y}\cdot\frac{\dd y}{\dd t}\]
- Als \(x\) en \(y\) differentieerbare functies van twee variabelen \(s\) en \(t\) zijn, dan geldt voor \(f\) als functie van \(s\) en \(t\): \[\begin{array}{rcl}\frac{\partial f}{\partial s} &=&\frac{\partial f}{\partial x}\cdot\frac{\partial x}{\partial s}+ \frac{\partial f}{\partial y}\cdot\frac{\partial y}{\partial s} \\ \\ \frac{\partial f}{\partial t} &=&\frac{\partial f}{\partial x}\cdot\frac{\partial x}{\partial t}+ \frac{\partial f}{\partial y}\cdot\frac{\partial y}{\partial t}\end{array}\]
Als het begrip continuïteit voor functies als #\frac{\partial f}{\partial x}# en #\frac{\partial f}{\partial y}# niet bekend is, bedenk dan dat dit een milde voorwaarde is die in onze voorbeelden vrijwel altijd vervuld is.
Wanneer we spreken van #f# als functie van #s# en #t#, dan bedoelen we de samengestelde functie #f\circ \varphi#, waarbij #\varphi(s,t)=\rv{x(s,t),y(s,t)}# een afbeelding is van een deelverzameling van #{\mathbb R}^2# naar #{\mathbb R}^2#.
Deze dubbele betekenis van #f# (als functie van #x# en #y# maar ook als functie van #s# en #t#) zie je ook terug in #x# en #y#, die enerzijds als onafhankelijke variabelen gezien worden (zoals in de noemers van uitdrukkingen als #\frac{\partial f}{\partial y}#), anderzijds als functies van #s# en #t# (zoals in de teller van #\frac{\partial y}{\partial t}#).
Voor functies van meer dan twee variabelen bestaan soortgelijke kettingregels:
Kettingregel voor partiële differentiatie van multivariate functies Als \(w=w(x_1,x_2,\ldots,x_m)\) een functie is van #m# variabelen #x_i# #(i=1,2,\ldots,m)# met continue partiële afgeleiden, en elke \(x_i\) is een differentieerbare functie van \(t_1,t_2,\ldots,t_n\), dan heeft de functie \(w\) van \(t_1,t_2,\ldots,t_n\), voor elke #j# #(1\le j\le n)#, partiële afgeleide \[\frac{\partial w}{\partial t_j}=\frac{\partial w}{\partial x_1}\cdot\frac{\partial x_1}{\partial t_j}+ \frac{\partial w}{\partial x_2}\cdot\frac{\partial x_2}{\partial t_j}+\cdots+\frac{\partial w}{\partial x_m}\cdot\frac{\partial x_m}{\partial t_j}\tiny.\]
Hier zijn nog twee bijzondere gevallen:
Als \(w=w(x)\) een functie is van één variable met continue partiële afgeleide, en \(x\) is een differentieerbare functie van \(s\) en \(t\), dan heeft \(w\), als functie van \(s\) en \(t\), partiële afgeleiden \[\frac{\partial w}{\partial s}=\frac{\dd w}{\dd x}\cdot\frac{\partial x}{\partial s}\quad\text{en}\quad\frac{\partial w}{\partial t}=\frac{\dd w}{\dd x}\cdot\frac{\partial x}{\partial t}\tiny.\]
Als \(w=w(x,y,z)\) een functie is van drie variabelen met continue partiële afgeleiden, en \(x\), \(y\) en \(z\) zijn differentieerbare functies van \(t\), dan heeft \(w\), als functie van \(t\), afgeleide \[\frac{\dd w}{\dd t}=\frac{\partial w}{\partial x}\cdot\frac{\dd x}{\dd t}+ \frac{\partial w}{\partial y}\cdot\frac{\dd y}{\dd t}+\frac{\partial w}{\partial z}\cdot\frac{\dd z}{\dd t}\tiny.\]
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.
