Diferentes descripciones de una recta

Geometría: Rectas

Diferentes descripciones de una recta

Ya hemos visto que la ecuación de una recta está determinada únicamente por dos puntos distintos de la misma. También hemos visto que la gráfica de una función lineal es una recta y hemos descrito dos formas diferentes de escribir la ecuación de una recta. Recordaremos estas diferentes descripciones y agregaremos una tercera ecuación para una recta.

Comparación de una recta

Podemos escribir la ecuación de una recta de tres maneras:

Podemos escribir la ecuación de una recta como \[\blue p \cdot x + \green q \cdot y+ r=0\] con #p# y #q# no iguales a #0#.
Podemos escribir la ecuación de una recta como \[\begin{array}{c}y=a \cdot x +b\\ \text{ para una recta no vertical o }\\ x=b\\ \text{ para una línea vertical}\end{array}\]
Si la recta cruza los ejes en #\rv{\orange k,0}# y #\rv{0, \purple l}# con #\orange k \ne 0# y #\purple l\ne 0#, entonces la ecuación de la recta se puede escribir como \[\frac{x}{\orange k}+\frac{y}{\purple l}=1\]

Ejemplo

Las siguientes ecuaciones determinan la misma recta: \[\frac{x}{\orange2}+\frac{y}{\purple5}=1\] \[\blue {5} \cdot x+\green2 \cdot y-{10}=0\] \[y=-\frac{5}{2} \cdot x +5\]

geogebra picture

Rastreo

Desde cualquiera de las tres formas de escribir una recta podemos volver a escribirla a cualquiera de las otras dos formas mediante álgebra básica.

En el ejemplo podemos multiplicar ambos lados por #12# y pasamos de la tercera forma a la primera. Si restamos #4x# a ambos lados y dividimos entre #3# pasamos de la primera forma a la segunda.

Ejemplo

\[\begin{array}{rcl}\frac{x}{\orange3}+\frac{y}{\purple4}&=&1\\ \blue4x+\green3y&=&12 \\ 3y&=&12-4x \\ y&=&4-\frac{4}{3}x \end{array}\]

Pendiente

Recordemos que en la fórmula lineal #y=ax+b# el número #a# se denomina pendiente de la recta. La pendiente dice algo sobre la dirección de la recta. En concreto, una pendiente de #a# significa que la recta se desplaza #a# pasos en sentido vertical cada vez que damos #1# paso a la derecha.

Una línea vertical de la forma #x=b# no tiene una pendiente bien definida.

Las líneas no verticales que no tienen la forma #y=ax+b# siempre se pueden reescribir como la forma #y=ax+b#. De esta manera podemos determinar la pendiente.

Vuelve a escribir la ecuación \[-{{4}\over{3}}\cdot x-{{5}\over{9}}\cdot y={{1}\over{3}}\] como #y=a\cdot x+b# con los valores correctos de #a# y #b#. Si esto no es posible, escribe #x=b# para el valor correcto de #b#.

#y=-{{12}\over{5}}\cdot x-{{3}\over{5}}#

Como el coeficiente de #y# en la ecuación dada no es igual a cero, es posible volver a escribir la ecuación como #y=a\cdot x+b#. Llegamos a esta forma usando la reducción:
\[\begin{array}{rcl}
-{{4}\over{3}}\cdot x-{{5}\over{9}}\cdot y&=&{{1}\over{3}}\\&&\phantom{xxx}\blue{\text{la ecuación dada}}\\
-{{5}\over{9}}\cdot y&=&{{4}\over{3}}\cdot x+{{1}\over{3}}\\&&\phantom{xxx}\blue{{{4}\over{3}}\cdot x\text{ sumado}\text{ a ambos lados}}\\
y&=&-{{12}\over{5}}\cdot x-{{3}\over{5}}\\&&\phantom{xxx}\blue{\text{lado izquierdo y derecho dividido por } -{{5}\over{9}} \text{, el coeficiente de } y}
\end{array}\]

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