Verschillende beschrijvingen van een lijn

Meetkunde: Lijnen

Verschillende beschrijvingen van een lijn

We hebben al eerder opgemerkt dat de vergelijking van een lijn volledig bepaald is door twee verschillende punten op de lijn. Ook hebben we gezien dat de grafiek van een lineaire formule een rechte lijn is en hebben we twee verschillende manieren om de vergelijking van een lijn op te schrijven gezien. Nu zullen we dit herhalen en een derde vergelijking van een lijn toevoegen.

Vergelijking van een lijn

We kunnen de vergelijking van een lijn op drie manieren schrijven:

We kunnen de vergelijking van een lijn schrijven als $\blue p \cdot x + \green q \cdot y+ r=0$ waar $p$ en $q$ niet beide $0$ mogen zijn.
We kunnen de vergelijking van een lijn schrijven als $\begin{array}{c}y=a \cdot x +b\\ \text{ voor een scheve of horizontale lijn of }\\ x=b\\ \text{ voor een verticale lijn}\end{array}$
Als de lijn de assen snijdt in $\rv{\orange k,0}$ en $\rv{0, \purple l}$ met $\orange k \ne 0$ en $\purple l\ne 0$ , dan is de vergelijking van de lijn te schrijven als $\frac{x}{\orange k}+\frac{y}{\purple l}=1$

Voorbeeld

De volgende vergelijkingen geven dezelfde lijn weer: $\frac{x}{\orange2}+\frac{y}{\purple5}=1$ $\blue {5} \cdot x+\green2 \cdot y-{10}=0$ $y=-\frac{5}{2} \cdot x +5$

geogebra plaatje

Herleiden

We kunnen de drie vergelijkingen in elkaar omschrijven met behulp van herleiden.

In het voorbeeld hiernaast zien we hoe we door beide zijden te vermenigvuldigen met $12$ van de derde vorm naar de eerste vorm gaan. Door vervolgens $4x$ aan beide zijden af te trekken en te delen door $3$ gaan we van de eerste vorm naar de tweede vorm.

Voorbeeld

$\begin{array}{rcl}\frac{x}{\orange3}+\frac{y}{\purple4}&=&1\\ \blue4x+\green3y&=&12 \\ 3y&=&12-4x \\ y&=&4-\frac{4}{3}x \end{array}$

Richtingscoëfficiënt

We brengen in herinnering dat in de formule van de vorm $y=ax+b$ het getal $a$ de richtingscoëfficiënt van de lijn is. Deze zegt iets over de richting van de lijn. Om precies te zijn zegt hij dat de lijn $a$ omhoog gaat, als we $1$ naar rechts gaan.

Een verticale lijn van de vorm $x=b$ heeft geen richtingscoëfficiënt.

Lijnen, die niet in de vorm $y=ax+b$ staan, kunnen we herleiden tot de vorm $y=ax+b$ of $x=b$ om de richtingscoëfficiënt te bepalen.

Herschrijf de vergelijking ${{1}\over{4}}\cdot x-5\cdot y=-{{3}\over{4}}$ tot de vorm $y=a\cdot x+b$ met de juiste waarden van $a$ en $b$ . Indien dit niet mogelijk is, schrijf dan $x=b$ voor de juiste waarde van $b$ .

$y={{1}\over{20}}\cdot x+{{3}\over{20}}$

Omdat de coëfficiënt van $y$ in de gegeven vergelijking ongelijk aan nul is, is het mogelijk om de vergelijking tot de vorm $y=a\cdot x+b$ te brengen. Deze vorm bereiken we met behulp van herleiding:
$\begin{array}{rcl} {{1}\over{4}}\cdot x-5\cdot y&=&-{{3}\over{4}}\\&&\phantom{xxx}\blue{\text{de gegeven vergelijking}}\\ -5\cdot y&=&-{{1}\over{4}}\cdot x-{{3}\over{4}}\\&&\phantom{xxx}\blue{\text{links en rechts }{{1}\over{4}}\cdot x\text{ afgetrokken}}\\ y&=&{{1}\over{20}}\cdot x+{{3}\over{20}}\\&&\phantom{xxx}\blue{\text{beide kanten gedeeld door } -5 \text{, de coëfficiënt van } y} \end{array}$

Nieuw voorbeeld