Meetkunde: Lijnen
Loodrechte lijnen
We hebben al gezien dat twee loodrechte lijnen een hoek van #90^\circ# of #\frac{\pi}{2}# radialen met elkaar maken. Dit heeft gevolgen voor de richtingscoëfficiënten van twee loodrechte lijnen.
Loodrechte lijnen
Voor twee lijnen #\blue k# en #\green l# met richtingscoëfficiënten #rc_{\blue k}# en #rc_{\green l}# geldt:
\[\begin{array}{c} rc_{\blue k} \cdot rc_{\green l}=-1 \\ \text{ dan en slechts dan als }\\ \text{lijn }\blue k \text{ en lijn } \green l \text{ loodrecht op elkaar staan}\end{array}\]
Dit betekent dat als #rc_{\blue k} \cdot rc_{\green l}=-1#, dan staan de lijnen loodrecht op elkaar.
Maar ook dat als de lijnen #\blue k# en #\green l# loodrecht op elkaar staan, dan geldt #rc_{\blue k} \cdot rc_{\green l}=-1#.
We kunnen dit gebruiken om de vergelijking van een loodlijn #l#, die door een punt #P# gaat en loodrecht op een lijn #k# staat, op te stellen.
Loodlijn opstellen
| Stappenplan | Voorbeeld | |
| We stellen een loodlijn #\green l# op, die door een punt #P# gaat en loodrecht op lijn #\blue k# staat. |
#\blue k: y=3x+5# #P=\rv{3,2}# |
|
| Stap 1 |
Bepaal de richtingscoëfficiënt van lijn #\blue k#. |
#rc_{\blue k}=3# |
| Stap 2 |
Bepaal de richtingscoëfficiënt van lijn #\green l# met de regel #rc_{\blue k} \cdot rc_{\green l}=-1#. |
#rc_{\green l}=-\frac{1}{3}# |
| Stap 3 |
De vergelijking van lijn #\green l# heeft de vorm: \[y=rc_{\green l} \cdot x+b\] |
#\green l: y=-\frac{1}{3}x+b# |
| Stap 4 |
Bepaal #b# door de coördinaten van punt #P# in te vullen en de ontstane vergelijking op te lossen. |
#b=3# |
| Stap 5 |
Vul #b# in de vergelijking uit stap 3 in. |
#\green l: y=-\frac{1}{3}x+3# |
| Stap 1 | We lezen de richtingscoëfficiënt van lijn #k: y={{2\cdot x}\over{3}}-{{2}\over{3}}# af. Deze is gelijk aan #{{2}\over{3}}#. |
| Stap 2 | We bepalen nu de richtingscoëfficiënt van lijn #l# met de regel: #rc_k \cdot rc_l=-1#. Dat gaat als volgt: \[\begin{array}{rcl}{{2}\over{3}} \cdot rc_l=-1 \\&&\phantom{xxx}\blue{\text{regel loodrechte lijnen met }rc_k={{2}\over{3}}} \\ rc_l=\frac{-1}{{{2}\over{3}}} \\&&\phantom{xxx}\blue{\text{beide zijden gedeeld door }{{2}\over{3}}} \\ rc_l=-{{3}\over{2}} \\&&\phantom{xxx}\blue{\text{vereenvoudigd}} \end{array}\] |
| Stap 3 | Lijn #l# heeft de vorm: #y=-{{3}\over{2}} \cdot x+b#. |
| Stap 4 | We vullen punt #P# in om #b# te bepalen. Dat geeft de vergelijking \[-1=-{{3}\over{2}} \cdot 2+b\] We lossen deze lineaire vergelijking op voor #b# en vinden dan \[b=2\] |
| Stap 5 | We vullen de gevonden #b# in de vergelijking uit stap #3# in. Dat geeft: \[l: y=2-{{3\cdot x}\over{2}}\] |
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.
