| Recuerda que #\sqrt{\blue {9}} = \orange 3#.
Para encontrar la raíz cuadrada, buscamos #\orange{\text{un número no negativo}}# que nos dará #\blue{\text{el número bajo el signo de la raíz}}# una vez que se eleve al cuadrado.
La raíz (cuadrada) #\sqrt{\blue a}# de #\blue a# es #\orange x#, para lo cual tenemos \[\orange x^2=\blue a \qquad \text{y} \qquad \orange x\geq 0\] | Ejemplo \[\begin{array}{c}
\sqrt{\blue {9}}\;=\;\orange3 \\ \text{ porque } \\ \orange 3^2=\blue {9} \quad \text{y}\quad \orange 3 \geq 0\\ \\ \sqrt{\blue {0}}\;=\;\orange0 \\ \text{ porque } \\ \orange 0^2=\blue {0} \quad \text{y}\quad \orange 0 \geq 0\end{array}\] |
| La raíz cuadrada de un número no puede ser negativa.
Por eso, #\sqrt{\blue 9}=\orange 3# y no #\orange{-3}#, aunque #(\orange{-3})^2=\blue 9#.
Se define así para definir la raíz cuadrada sin ambigüedades.
Por lo tanto, podemos hablar de la raíz cuadrada de #\blue {9}#. | \[\begin{array}{c}
\sqrt{\blue {9}} \;\red{\neq}\; \orange{ -3} \\ \text{ porque } \\
\orange {-3} {\;\red{\not\geq}\;} 0
\end{array}\] |
La raíz de un número no negativo #\blue {a}# es una solución de la ecuación #\orange {x}^2=\blue {a}# con #\orange {x}# desconocido. Esto significa que #\orange {x}=\sqrt{\blue {a}}# cumple con esta ecuación, por lo que #\left(\sqrt{\blue {a}}\right)^2 = \blue {a}#.
Si #\blue {a}\gt0#, entonces hay una segunda solución de la ecuación #\orange {x}^2=\blue {a}#, que es #\orange {x}=-\sqrt{\blue {a}}#. A fin de cuentas, #\left(-\sqrt{\blue {a}}\right)^2 = \blue {a}#. Esta solución es negativa.
La solución de una ecuación se llama raíz de la ecuación. Entonces, puede haber dos raíces de la ecuación #\orange {x}^2=\blue {a}#.
Para asegurarnos de que se determine #\sqrt{\blue {a}}# unívocamente, exigimos que esta expresión no sea negativa. De este modo, #\sqrt{\blue {a}}# es la única raíz no negativa de la ecuación #\orange {x}^2=\blue {a}# y #-\sqrt{\blue {a}}# es la única raíz negativa de esa ecuación si #\blue {a}\ne0#.
La raíz de un número #\sqrt{\blue {a}}# solo tiene sentido cuando #\blue{a}\geq 0#. No hay un número real #x# para el que #\orange {x}^2# sea un resultado negativo, porque \[\begin{array}{c}
\text{negativo} \cdot \text{negativo}= \text{positivo} \\
\text{positivo} \cdot \text{positivo} = \text{positivo}
\end{array}\]
Por lo tanto, las expresiones y reglas algebraicas que involucran raíces solo son válidas si la expresión debajo del signo de la raíz no es negativa. Por ejemplo, para la expresión #\sqrt{\green{x y}}#, deberíamos tener #\green{x y}\geq 0#.
Sustituye #x=-2# en #\sqrt{x+9}#. ¿Es posible?
sí
Podemos sustituir cada valor por #x# para el cual #x+9# sea mayor o igual a #0#, ya que el número debajo del signo de la raíz no puede ser negativo.
Si sustituimos #x=-2#, obtenemos #-2+9=7 \geq 0 #. Por lo tanto, no podemos sustituir este valor.
Raíces cuadradas
