Symmetrie eenheidscirkel

Goniometrie: Hoeken met sinus, cosinus en tangens

Symmetrie eenheidscirkel

We hebben al gezien dat de sinus en de cosinus zich elke #2 \pi# herhalen. Nu zullen we kijken naar de symmetrie in de eenheidscirkel.

Symmetrie

In de eenheidscirkel vinden we drie soorten symmetrie, namelijk spiegeling om de #x#-as, spiegeling om de #y#-as en spiegeling om de lijn #y=x#. Deze symmetrie geeft de volgende regels voor de sinus en de cosinus.

Spiegeling om de	Sinus	Cosinus
#x#-as	#\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)#	#\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)#
#y#-as	#\sin(\pi-\alpha) = \sin(\alpha)#	#\cos(\pi-\alpha) = -\cos(\alpha)#
lijn #y=x#	#\sin(\frac{\pi}{2}-\alpha) = \cos(\alpha)#	#\cos(\frac{\pi}{2}-\alpha) = \sin(\alpha)#

Door deze regels hoeven we alleen de waarden van de sinus en cosinus te weten in het eerste kwart van de eenheidscirkel, oftewel de waarden van de sinus en cosinus voor #0 \leq \alpha \leq \tfrac{\pi}{4}#. In de praktijk nemen we een iets groter stuk en bekijken we de waarden van de #0 \leq \alpha \leq \tfrac{\pi}{2}# specifiek.

Voorbeelden

Spiegeling om de	Sinus	Cosinus	geogebra
#x#-as	#\begin{array}{rcl}\sin(\frac{5 \pi}{3})&=&\sin(-\frac{\pi}{3})\\ &=&-\sin(\frac{\pi}{3})\end{array}#	#\begin{array}{rcl}\cos(\frac{5 \pi}{3})&=&\cos(-\frac{\pi}{3})\\&=&\cos(\frac{\pi}{3})\end{array}#
#y#-as	#\begin{array}{rcl}\sin(\frac{2 \pi}{3})&=&\sin(\pi-\frac{\pi}{3})\\&=&\sin(\frac{\pi}{3})\end{array}#	#\begin{array}{rcl}\cos(\frac{2 \pi}{3})&=&\cos(\pi-\frac{\pi}{3})\\&=&-\cos(\frac{\pi}{3})\end{array}#
lijn #y=x#	#\begin{array}{rcl}\sin(\frac{1}{6}\pi)&=&\sin(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{3})\\&=&\cos(\frac{\pi}{3})\end{array}#	#\begin{array}{rcl}\cos(\frac{1}{6}\pi)&=&\cos(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{3})\\&=&\sin(\frac{\pi}{3})\end{array}#

Graden Voor hoeken #\alpha# in graden gelden dezelfde regels, alleen de gedeelten met #\pi# worden dan omgezet in overeenkomstige hoeken in graden.

Spiegeling om de	Sinus	Cosinus
#x#-as	#\sin(360^\circ-\alpha) = -\sin(\alpha)#	#\cos(360^\circ-\alpha) = \cos(\alpha)#
#y#-as	#\sin(180^\circ-\alpha) = \sin(\alpha)#	#\cos(180^\circ-\alpha) = -\cos(\alpha)#
lijn #y=x#	#\sin(90^\circ-\alpha) = \cos(\alpha)#	#\cos(90^\circ-\alpha) = \sin(\alpha)#

Als je de waarden van de cosinus en de sinus weet voor de speciale hoeken tussen #0# en #\frac{\pi}{2}#, dan kun je de waarden van speciale hoeken tussen #\frac{\pi}{2}# en #2\pi# berekenen door gebruik te maken van spiegelsymmetrie.

Gegeven #\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}#, wat is dan #\sin\left(\frac{5 \pi}{4}\right)#?

#\sin\left(\frac{5 \pi}{4}\right)=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}#

De gegeven hoeken zijn aan elkaar gerelateerd via de spiegeling aan de #x#-as en de #y#-as, dus geldt \[\sin\left(\frac{5 \pi}{4}\right)=-\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\]

Nieuw voorbeeld