Fonctions exponentielles et logarithmes: Fonctions logarithmiques
Isolation de variables
En utilisant ce que nous avons appris lors de la réécriture de logarithmes, nous pouvons réécrire des fonctions exponentielles comme une fonction de la forme #x=\ldots#. Nous appelons cela l'isolation de la variable #x#.
Nous pouvons réécrire la fonction #y=5\cdot 4^{x-1}# comme une équation de la forme #x=\blue{a}+\log_{\green{b}}\left(\purple{c}\cdot y\right)#.
\[\begin{array}{rcl}5\cdot 4^{x-1}&=&y\\&& \blue{\text{équation donnée}}\\4^{x-1}&=&\frac{y}{5}\\&&\blue{\text{division par }5}\\x-1&=&\log_4\left(\frac{y}{5}\right)\\&&\blue{a^b=c\text{ donne }b=\log_a\left(c\right)}\\x&=&\log_4\left(\frac{y}{5}\right)+1\\&&\blue{\text{addition de }1}\end{array}\]
Nous pouvons également isoler #x# de fonctions plus difficiles comme vous pouvez le voir dans les exemples suivants.
\[y=47+10^{3.9\cdot x+5}\]
\(\begin{array}{rcl}
y&=&47+10^{3.9\cdot x+5}\\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{équation donnée}}\\
10^{3.9\cdot x+5}&=&y-47\\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{échange des membres et termes constants mis dans le membre de droite}}\\
3.9\cdot x+5&=&\log_{10}\left(y-47\right)\\
&&\phantom{xxx}\blue{a^b=c \text{ donne } b=\log_a\left(c\right)}\\
3.9\cdot x&=&\log_{10}\left(y-47\right)-5\\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{termes constants mis dans le membre de droite}}\\
x&=&\dfrac{\log_{10}\left(y-47\right)-5}{3.9}\\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{division par }3.9}
\end{array}\)
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