Diferenciación: La derivada
El cociente diferencial en un punto
Mediante el cociente diferencial, podemos aproximarnos al cambio en un punto de una gráfica.
Queremos aproximar el cambio en el punto #\green{x}=\green{2}# para la función #\blue{f(x)}=\blue{x^2}#. Para hacerlo, tomamos el cociente diferencial en un intervalo alrededor de #\green{2}#: \[[\green{2},\green{2}+\orange{h}],\]
donde elegimos una #\orange{h}# cada vez menor.
Cuanto menor sea la #\orange{h}# que elegimos, mejor podremos ver el cambio en el punto. Vemos que estos valores se acercan cada vez más a #4# a medida que elegimos valores de #\orange{h}# menores. El cambio en un punto también se denomina pendiente.
Podemos aproximar el cambio en un punto #x=a# de cada función determinando el cociente diferencial en el intervalo #[a,a+h]#.
El cociente diferencial en un intervalo de longitud h
Para una función #\blue{f}#, el cociente diferencial en el punto #\green{x}=\green{a}# con una diferencia #\orange{h}# se define de la siguiente manera:
\[\dfrac{\Delta y}{\Delta x}= \dfrac{f(\green{a}+\orange{h})-f(\green{a})}{\orange{h}}\]
Podemos dejar #\orange{h}# como está en nuestro cálculo.
Ejemplo
#\blue{f(x)}=\blue{x^2}# y #\green{a}=\green{4}# nos dan:
\[\begin{array}{rcl}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}&=& \dfrac{(\green{4}+\orange{h})^2-\green{4}^2}{\orange{h}}\\&=& \dfrac{16+8\cdot\orange{h}+\orange{h}^2-16}{\orange{h}} \\&=& \dfrac{8\cdot\orange{h}+\orange{h}^2 }{\orange{h}} \\&=& 8+\orange{h}\end{array}\]
#\begin{array}{rcl}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}&=& \dfrac{f(6+h)-f(6)}{h}\\&&\phantom{xxx}\blue{\text{definición de cociente diferencial en }x=6 }\\&=&\dfrac{4\cdot(6+h)+3-(4\cdot6+3)}{h}\\&&\phantom{xxx}\blue{6 \text{ se introduce en }f}\\
&=&\dfrac{24+4\cdot h -24}{h}\\&&\phantom{xxx}\blue{\text{se expanden los paréntesis}}\\&=&\dfrac{4\cdot h}{h}\\&&\phantom{xxx}\blue{\text{se suma}}\\&=&4\\&&\phantom{xxx}\blue{\text{se elimina }h}\end{array}#
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