Differentiëren: Toepassingen van afgeleiden
De tweede afgeleide
De afgeleide #f'# van een functie #f# kun je nog een keer afleiden. Dit noemen we de tweede afgeleide van #f#.
Voor een functie #\blue{f(x)}# noteren we de tweede afgeleide met:
\[\green{f''(x)}=\frac{\dd}{\dd x}\orange{f'(x)}=\frac{\dd}{\dd x}\left(\frac{\dd}{\dd x}\blue{f(x)}\right)\]
Voorbeeld
\[\begin{array}{rcl}\blue{f(x)}&\blue{=}&\blue{3x^2}\\ \orange{f'(x)}&\orange{=}&\orange{6x}\\\green{f''(x)}&\green{=}&\green{6}\end{array}\]
De tweede afgeleide is nuttig als we zoeken naar extreme waarden. We zagen eerder dat de voorwaarde dat #f'(c)=0# niet direct betekent dat #f(x)# een extreme waarde heeft in #c#. De volgende stelling zal ons helpen met bepalen of een dergelijk nulpunt van #f'(x)# een extreme waarde is of niet.
Als voor een functie #\blue{f(x)}# en een punt #x=\purple{c}# geldt dat
- #\orange{f'(}\purple{c}\orange{)}=0#
- #\green{f''(}\purple{c}\green{)}\neq 0#,
dan heeft #\blue{f(x)}# een extreme waarde in #\purple{c}#.
Als #\green{f''(}\purple{c}\green{)}>0# is dit een lokaal minimum, als #\green{f''(}\purple{c}\green{)}<0# is dit een lokaal maximum.
Voorbeeld
\[\begin{array}{rcl}\blue{f(x)}&=&\blue{2x^2+x}\\
\orange{f'(x)}&=&\orange{4x+1}\\
\green{f''(x)}&=&\green{4}\\
\orange{f'(}\purple{-\frac{1}{4}}\orange{)}&=&0\\
\green{f''(}\purple{-\frac{1}{4}}\green{)}&=&4\neq 0\end{array}\]
Vereenvoudig je antwoord zo ver mogelijk.
We berekenen eerst de eerste afgeleide met behulp van de machtregel.
\[f'(x)=36\cdot x^3+18\cdot x\]
Vervolgens berekenen we op dezelfde wijze de tweede afgeleide.
\[f''(x)=108\cdot x^2+18\]
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.
