Integración: Técnicas de integración
Integrales trigonométricas
Usando el método de sustitución, también podemos resolver integrales trigonométricas.
Este video explica cómo utilizar el método de sustitución para resolver la integral trigonométrica #\int \sin(x)^{\blue{m}} \cdot \cos(x)^{\orange{n}} \; \dd x#, donde #\blue{m} # y #\orange{n} # son números enteros no negativos.
El video solo está disponible en inglés.
La voz en el vídeo está generada por IA y no es una voz humana.
A menudo usamos las siguientes identidades trigonométricas.
\[\sin(x)^2 + \cos(x)^2 = 1 \]
\[\cos(x)^2 = \frac{\cos(2x)+1}{2}\]
\[\sin(x)^2 = \frac{1-\cos(2x)}{2}\]
#\int \sin(y)^3 \,\dd y=# #{{\cos(y)^3}\over{3}}-\cos(y) + C#
Aplicamos el método de sustitución con #g(y)=y^2-1# y #h(y)=\cos(y)#, porque en ese caso se aplica #g(h(y)) \cdot h'(y)=\sin(y)^3#. Esto se realiza de la siguiente manera:
\[\begin{array}{rcl}\displaystyle \int \sin(y)^3 \,\dd y&=& \displaystyle \int \left(\cos(y)^2-1\right) \cdot -\sin(y) \, \dd y \\&&\phantom{xxx}\blue{\text{paso 2: volver a escribir en la forma }\int g(h(y)) \cdot h'(y) \, \dd y \\
\text{ con } h'(y)=-\sin(y)} \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{usando la regla trigonométrica }\sin^2(y)=1-\cos^2(y)} \\ &=& \displaystyle \int \left(\cos(y)^2-1 \right) \, \dd(\cos(y)) \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{paso 3: volver a escribir usando }h'(y)=\dd (h(y))} \\ &=& \displaystyle \int u^2-1 \, \dd u \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{paso 4: sustituir }\cos(y)=u} \\ &=& \displaystyle {{u^3}\over{3}}-u +C \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{paso 5: encontrar la antiderivada}} \\ &=& \displaystyle {{\cos(y)^3}\over{3}}-\cos(y) +C \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{paso 6: sustituir }u=\cos(y)}
\end{array}\]
Aplicamos el método de sustitución con #g(y)=y^2-1# y #h(y)=\cos(y)#, porque en ese caso se aplica #g(h(y)) \cdot h'(y)=\sin(y)^3#. Esto se realiza de la siguiente manera:
\[\begin{array}{rcl}\displaystyle \int \sin(y)^3 \,\dd y&=& \displaystyle \int \left(\cos(y)^2-1\right) \cdot -\sin(y) \, \dd y \\&&\phantom{xxx}\blue{\text{paso 2: volver a escribir en la forma }\int g(h(y)) \cdot h'(y) \, \dd y \\
\text{ con } h'(y)=-\sin(y)} \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{usando la regla trigonométrica }\sin^2(y)=1-\cos^2(y)} \\ &=& \displaystyle \int \left(\cos(y)^2-1 \right) \, \dd(\cos(y)) \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{paso 3: volver a escribir usando }h'(y)=\dd (h(y))} \\ &=& \displaystyle \int u^2-1 \, \dd u \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{paso 4: sustituir }\cos(y)=u} \\ &=& \displaystyle {{u^3}\over{3}}-u +C \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{paso 5: encontrar la antiderivada}} \\ &=& \displaystyle {{\cos(y)^3}\over{3}}-\cos(y) +C \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{paso 6: sustituir }u=\cos(y)}
\end{array}\]
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