#\int \cos \left(t\right)\cdot \sin ^5\left(t\right) \,\dd t=# #{{\sin ^6\left(t\right)}\over{6}} + C#

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Aplicamos el método de sustitución con #g(t)=t^5# y #h(t)=\sin \left(t\right)#, porque en ese caso se aplica #g(h(t)) \cdot h'(t)=\cos \left(t\right)\cdot \sin ^5\left(t\right)#. Esto se realiza de la siguiente manera:
\[\begin{array}{rcl}\displaystyle \int \cos \left(t\right)\cdot \sin ^5\left(t\right) \,\dd t&=& \displaystyle \int \sin ^5\left(t\right) \cdot \cos \left(t\right) \, \dd t \\&&\phantom{xxx}\blue{\text{paso 2: volver a escribir en la forma }\int g(h(t)) \cdot h'(t) \, \dd t \\
\text{ con } h'(t)=\cos \left(t\right)} \\ &=& \displaystyle \int \left(\sin ^5\left(t\right) \right) \, \dd(\sin \left(t\right)) \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{paso 3: volver a escribir usando }h'(t)=\dd (h(t))} \\ &=& \displaystyle \int u^5 \, \dd u \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{paso 4: sustituir }\sin \left(t\right)=u} \\ &=& \displaystyle {{u^6}\over{6}} +C \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{paso 5: encontrar la antiderivada}} \\ &=& \displaystyle {{\sin ^6\left(t\right)}\over{6}} +C \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{paso 6: sustituir }u=\sin \left(t\right)}
\end{array}\]