La antiderivada de una función de potencia

Integración: Antiderivadas

La antiderivada de una función de potencia

Al igual que con la diferenciación, usamos reglas para determinar la antiderivada de funciones estándar al integrar. Primero veremos la antiderivada de una función de potencia.

Para #\orange n\neq -1#:

\[\int x^\orange {n}\;\dd x = \frac{1}{\orange n+1}x^{\orange n+1} + \green C \]

Ejemplo

#\begin{array}{rcl}
\displaystyle \int x^\orange 4 \;\dd x &=&\dfrac{1}{\orange 4+1}x^{\orange 4+1} + \green C \\
&=&\dfrac 15 x^5 + \green C
\end{array}#

Podemos probar esto mostrando que si diferenciamos la antiderivada #\frac{1}{\orange n+1}x^{\orange n+1} + \green C#, efectivamente obtenemos la función original #x^\orange {n}# otra vez.

\[\begin{array}{rcl}\frac{\dd}{\dd x}\left(\frac{1}{\orange n+1}x^{\orange n+1} + \green C\right)&=& \frac{\dd}{\dd x}\left(\frac{1}{\orange n+1}x^{\orange n+1}\right)+\frac{\dd}{\dd x} \green C \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{regla de la suma}} \\ &=&\frac{1}{\orange n+1} \frac{\dd}{\dd x}x^{\orange n+1} +0 \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{regla de factor constante y que la derivada de una constante es }0} \\ &=& \frac{1}{\orange n+1} \cdot \left(\orange n+1\right) \cdot x^{\orange n +1-1} \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{regla de potencia }\frac{\dd}{\dd x}x^n=n \cdot x^{n-1}} \\ &=& x^{\orange n}\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{simplificado}}\end{array}\]

Raíz

También podemos determinar la antiderivada de una raíz usando esta regla.

\[\int \sqrt{x} \;\dd x = \int x^\orange{\frac{1}{2}} \; \dd x = \frac{1}{\orange{\frac{1}{2}}+1}x^{\orange{\frac{1}{2}}+1} +\green C= \frac{2}{3}x \sqrt{x}+\green C\]

Determina una antiderivada #F# para la función #f(x)=x^2#.

#F(x)=# #{{x^3}\over{3}}#

#\begin{array}{rcl}\displaystyle \int x^2 \; \dd x
&=&\displaystyle \frac{1}{2+1} x^{2+1}+C \\ &&\displaystyle \phantom{xxx}\blue{\text{regla de cálculo } \int x^{n} \; \dd x = \displaystyle\frac{1}{n+1} x^{n+1} + C}\\
&=&\displaystyle {{x^3}\over{3}} +C \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{simplificado}}
\end{array}#

Como solo pedimos una antiderivada, ahora podemos elegir #C=0#. Esto nos da:
\[F(x)={{x^3}\over{3}}\]

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