Hogeregraadsvergelijkingen en de abc-formule

Functies: Hogeregraadsfuncties

Hogeregraadsvergelijkingen en de abc-formule

Sommige vergelijkingen met polynomen kunnen we oplossen met de abc-formule. We gebruiken hiervoor substitutie.

	Stappenplan We lossen een vergelijking met polynomen in #x# op met de abc-formule.	Voorbeeld #2x^4+3x^2-2=0#
Stap 1	Schrijf de vergelijking in de vorm #a \blue x^{\blue n \cdot 2}+b \blue{x^n} +c=0#.	#2\blue{x}^{\blue2 \cdot 2}+3\blue{x^2}-2=0#
Stap 2	Substitueer #\blue{x^n}=\green u#.	#2\green u^2+3\green u-2=0#
Stap 3	Los de ontstane kwadratische vergelijking in #\green u# op met de abc-formule.	#\green u=-2 \lor \green u =\tfrac{1}{2}#
Stap 4	Substitueer #\green u =\blue{x^n}# in de gevonden oplossing(en).	#\blue{x^2}=-2 \lor \blue{x^2}=\tfrac{1}{2}#
Stap 5	Bepaal de oplossingen in #x# van de in stap 4 ontstane vergelijkingen.	#x=-\tfrac{1}{\sqrt{2}} \lor x=\tfrac{1}{\sqrt{2}}#

Los #x# op in de vergelijking
\[4\cdot x^{14}+{{21\cdot x^7}\over{2}}+5=0\tiny\]
Geef je antwoord in de vorm #x=x_1\lor x=x_2 \lor \ldots \lor x=x_n#, waarbij #x_1#, #x_2#, #\ldots#, #x_n# getallen zijn en #n# het aantal oplossingen.

#x=\sqrt[7]{-2} \lor x=\sqrt[7]{-{{5}\over{8}}} #

Stap 1	We schrijven de vergelijking in de vorm: \[4 x^{2 \cdot 7}+{{21}\over{2}} x^{7}+5=0\]
Stap 2	We substitueren #x^7=u#. Dat geeft: \[4 u^2+{{21}\over{2}} u+5=0\]
Stap 3	We lossen de ontstane vergelijking in #u# op met de abc-formule. De discriminant is gelijk aan: \[\begin{array}{rcl}D&=&b^2-4ac \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{formule voor de discriminant}}\\ &=& \left({{21}\over{2}}\right)^2-4 \cdot 4 \cdot 5 \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{formule ingevuld}}\\ &=& {{121}\over{4}} \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{uitgerekend}}\end{array}\] Aangezien de discriminant positief is, zijn er twee oplossingen. Deze zijn: \[\begin{array}{rcl}u=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a} &\lor& u=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a} \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{formule voor de oplossingen}}\\ u=\frac{-{{{21}\over{2}}}-\sqrt{{{121}\over{4}}}}{2 \cdot 4} &\lor& u=\frac{-{{{21}\over{2}}}+\sqrt{{{121}\over{4}}}}{2 \cdot 4}\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{formule ingevuld}}\\ u=-2 &\lor& u=-{{5}\over{8}} \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{uitgerekend}}\end{array}\]
Stap 4	Nu substitueren we #u=x^{7}# in de gevonden oplossingen dat geeft \[x^{7}=-2 \lor x^{7}=-{{5}\over{8}}\]
Stap 5	Tot slot lossen we deze vergelijkingen op de wortel te nemen. Dat geeft als oplossingen van de oorspronkelijke vergelijking: \[x=\sqrt[7]{-2} \lor x=\sqrt[7]{-{{5}\over{8}}}\]

Nieuw voorbeeld