Getallen: Machten en wortels
Wortels
Omdat #\blue3# in het kwadraat gelijk is aan #\orange9#, noemen we #\blue3# de wortel van #\orange9#. We noteren dit als:
\[\sqrt{\orange9}=\blue3\]
In het algemeen geldt:
De wortel van een #\orange{\textit{getal}}# is een #\blue{\textit{niet-negatief getal}}# dat in het kwadraat gelijk is aan #\orange{\textit{getal onder het}}# #\orange{\textit{ wortelteken}}#.
Merk hierbij op dat we afspreken dat de wortel een niet-negatief getal moet zijn, dus dat #\sqrt{\orange9}# #\red{\ne}# #\blue{-3}#, ondanks dat #\left(\blue{-3}\right)^2=\orange9#.
Voorbeelden
\[\begin{array}{rclc}\sqrt{\orange1}&=&\blue1 &\text{want }\blue1^2=\orange1 \text{ en } \blue1 \geq 0\\ \\\sqrt{\orange4}&=&\blue2 &\text{want }\blue2^2=\orange4 \text{ en } \blue2 \geq 0 \\ \\\sqrt{\orange9}&=&\blue3 &\text{want }\blue3^2=\orange9 \text{ en } \blue3 \geq 0\\ \\\sqrt{\orange{16}}&=&\blue4 &\text{want }\blue4^2=\orange{16} \text{ en } \blue4 \geq 0 \end{array}\]
De wortels in de voorbeelden komen allemaal geheel uit, maar dit geldt lang niet voor alle wortels.
Volgens de definitie van de wortel geldt \[\left(\sqrt{\orange2}\right)^2=\orange2\]
Omdat #1^2=1# en #2^2=4# zien we dat #1 \lt \sqrt{\orange2} \lt 2#.
Met de rekenmachine vinden we een benadering #\sqrt{\orange2} \approx 1.41423562....#
Later zullen we zien dat #\sqrt{\orange2}# niet te schrijven is als een breuk, maar een oneindige hoeveelheid decimalen heeft. Wanneer opgaven niet afgerond mogen worden, is #\sqrt{\orange2}# dan ook een eindantwoord. Net als #1#, #\tfrac{1}{2}# en #0.6#, is #\sqrt{\orange2}# een getal.
Tot nu toe hebben we alleen maar wortels van niet-negatieve getallen gezien. Dat komt omdat wortels van negatieve getallen niet bestaan.
Volgens de definitie van de wortel zou #\sqrt{\orange{-1}}# een getal moeten zijn dat in het kwadraat gelijk is aan #\orange{-1}#.
Maar, als we een positief getal in het kwadraat nemen, komt daar altijd een positief getal uit. Dus een positief getal kan in het kwadraat nooit #\orange{-1}# worden.
Ook een negatief getal in het kwadraat is altijd een positief getal. Dus ook een negatief getal kan in het kwadraat nooit #\orange{-1}# worden.
Dit betekent dus dat #\sqrt{\orange{-1}}# niet bestaat. We kunnen alleen wortels trekken uit niet-negatieve getallen.
\[\begin{array}{rcl}(\text{positief})^2&=&\text{positief} \;\times \text{positief} \\ &=&\text{positief} \\ \\ (\text{negatief})^2&=&\text{negatief} \;\times \text{negatief} \\ &=&\text{positief} \end{array}\]
Wanneer we #\sqrt{1}# moeten berekenen, zijn we op zoek naar een niet-negatief getal dat in het kwadraat gelijk is aan #1#. In dit geval geldt: \[1^2=1\] Dus #\sqrt{1}=1#.
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.
