Tot nu toe hebben we onder andere gehele getallen, breuken en wortels gezien. We hebben gezien dat dit allemaal getallen zijn. Getallen kunnen we indelen in twee categorieën, namelijk de rationale getallen, zoals #4#, #-1# en #\tfrac{1}{2}#, en de irrationale getallen, zoals #\sqrt{2}# en #\pi#.
De rationale getallen zijn alle getallen die te schrijven zijn als breuk van gehele getallen.
Wanneer we een rationaal getal omzetten in een decimaal getal, vinden we één van de volgende dingen:
- een eindig aantal decimalen (dat kunnen er ook #0# zijn)
- een oneindig aantal decimalen, maar dan vinden we wél een patroon in de decimalen: een aantal van de decimalen gaat zich steeds herhalen.
We noteren dit met een streep boven de zich herhalende decimalen.
Voorbeelden
\[\begin{array}{rcl}\dfrac{2}{1}&=&2 \\ \\ \dfrac{1}{2}&=&0.5 \\ \\ \dfrac{1}{13}&=&0.\overline{076923} \\ \\ \dfrac{1}{3}&=&0.\overline{3}\end{array}\]
De irrationale getallen zijn alle getallen die een oneindige, niet-repeterende decimale ontwikkeling hebben.
Dit betekent dat het getal te schrijven is als een kommagetal waarbij er oneindig veel decimale getallen zijn en deze decimalen zich niet gaan herhalen.
Voorbeelden
\[\begin{array}{rcl}\sqrt{2}&=&1.414213562373095... \\ \\ \pi&=& 3.1415926543589793... \end{array}\]
We bewijzen dat #\sqrt{2}# irrationaal is. Daarvoor gebruiken we een bewijs uit het ongerijmde. Dat betekent dat we aannemen dat #\sqrt{2}# rationaal is, vervolgens zullen we een tegenspraak vinden, waardoor het niet kan kloppen dat #\sqrt{2}# rationaal is.
Als #\sqrt{2}# rationaal is kunnen we het schrijven als een breuk #\tfrac{\blue p}{\orange q}#, waarbij #\blue p# en #\orange q# gehele getallen zijn. De getallen #\blue p# en #\orange q# hebben geen gemeenschappelijke delers, want als ze dat wel hebben, kunnen we de breuk verder vereenvoudigen.
Er geldt dus:
\[\sqrt{2}=\frac{\blue p}{\orange q}\]
Wanneer we beide kanten kwadrateren, vinden we:
\[2=\frac{\blue p^2}{\orange q^2}\]
Door beide zijden met #\orange q^2# te vermenigvuldigen, vinden we:
\[2\orange q^2=\blue p^2\]
Het linkerlid is deelbaar door #2#, dus het rechterlid moet dat ook zijn. Dus, #\blue p^2# is deelbaar door #2# en daarom is #\blue p# ook deelbaar door #2#.
Vervolgens merken we op dat als #\blue p# deelbaar is door #2#, we #\blue{p}# kunnen schrijven als #2 \cdot a#, waarbij #a# een geheel getal is. Dit betekent:
\[2 \orange q^2=(2a)^2=4a^2\]
Wanneer we beide kanten delen door #2# vinden we:
\[\orange q^2=2a^2\]
Dit betekent dat #\orange q^2# deelbaar is door #2# en dat dus ook #\orange q# deelbaar is door #2#.
We zien dus dat zowel #\blue p# als #\orange q# deelbaar zijn door #2#. Dit is in tegenspraak met het feit dat ze geen gemeenschappelijke delers hebben. Dit betekent dat onze aanname fout moet zijn, en daarom kunnen we #\sqrt{2}# niet schrijven als een breuk. #\sqrt{2}# is dus inderdaad irrationaal.
Tot slot merken we op dat we de rationale en irrationale getallen samen de reële getallen noemen.
De reële getallen zijn de rationale en irrationale getallen samen.
Dit zijn alle getallen die op de getallenlijn liggen.
Is het getal #\sqrt{19} # rationaal of irrationaal?
Rationale getallen zijn te schrijven als breuk. Dit betekent dat de getallen een eindig aantal decimalen hebben, óf een oneindig aantal decimalen waarbij getallen zich steeds herhalen. Irrationale getallen zijn niet te schrijven als breuk en hebben een oneindig aantal decimalen die zich niet gaan herhalen.
In dit geval is #\sqrt{19}# niet als breuk te schrijven, dus is het getal irrationaal.
Irrationale getallen
